Expliquez pourquoi la suite converge et trouvez sa limite

1. Preuve que chaque terme de la suite est positif : Nous pouvons le prouver par récurrence. Cas de base : a1 = 1, ce qui est positif. Étape inductive : Supposons que ak est positif pour un entier k >= 1. Nous devons montrer que ak+1 est également positif. ak+1 = (ak + 2/ak) / 2. Puisque ak > 0, alors 2/ak > 0. La somme de deux nombres positifs (ak et 2/ak) est positive. Diviser un nombre positif par 2 donne un nombre positif. Par conséquent, ak+1 > 0. Par récurrence, chaque terme de la suite est positif. 2. Preuve que la suite est décroissante après le premier terme : Nous devons montrer que an+1 <= an pour n >= 1. an+1 - an = (an + 2/an) / 2 - an = (an + 2/an - 2an) / 2 = (2/an - an) / 2 = (2 - an^2) / (2an). Pour que la suite soit décroissante, nous avons besoin que an+1 - an <= 0, ce qui signifie (2 - an^2) / (2an) <= 0. Puisque nous avons déjà prouvé que tous les termes sont positifs (an > 0), le dénominateur 2an est positif. Par conséquent, nous avons besoin que le numérateur soit non positif : 2 - an^2 <= 0, ce qui implique an^2 >= 2. Vérifions si an^2 >= 2 pour n >= 2. Pour n=1, a1 = 1, a1^2 = 1, ce qui n'est pas >= 2. Donc la suite n'est pas décroissante à partir du premier terme. Pour n=2, a2 = (a1 + 2/a1) / 2 = (1 + 2/1) / 2 = 3/2. a2^2 = (3/2)^2 = 9/4 = 2,25, ce qui est >= 2. Maintenant, prouvons par récurrence que an^2 >= 2 pour n >= 2. Cas de base : Nous avons montré que a2^2 = 9/4 >= 2. Étape inductive : Supposons que ak^2 >= 2 pour un entier k >= 2. Nous devons montrer que ak+1^2 >= 2. ak+1 = (ak + 2/ak) / 2. ak+1^2 = ((ak + 2/ak) / 2)^2 = (ak^2 + 4 + 4/ak^2) / 4. Puisque ak^2 >= 2, alors 1/ak^2 <= 1/2. Donc, ak+1^2 = (ak^2 + 4 + 4/ak^2) / 4 >= (2 + 4 + 4(0)) / 4 = 6/4 = 1,5. Ce n'est pas suffisant. Utilisons une approche différente pour l'étape inductive pour an^2 >= 2 pour n >= 2. Nous savons que ak+1 = (ak + 2/ak) / 2. Considérons ak+1^2 - 2 = ((ak + 2/ak) / 2)^2 - 2 = (ak^2 + 4 + 4/ak^2) / 4 - 2 = (ak^2 + 4 + 4/ak^2 - 8) / 4 = (ak^2 - 4 + 4/ak^2) / 4 = (ak - 2/ak)^2 / 4. Puisque (ak - 2/ak)^2 est un carré, il est toujours non négatif. Ainsi, ak+1^2 - 2 >= 0, ce qui signifie ak+1^2 >= 2. Par conséquent, pour n >= 2, an^2 >= 2, ce qui implique que an+1 - an <= 0. La suite est décroissante après le premier terme. 3. Preuve que la suite est bornée inférieurement : De la partie 1, nous avons prouvé que chaque terme de la suite est positif. Ainsi, la suite est bornée inférieurement par 0. De plus, de la partie 2, nous avons montré que pour n >= 2, an^2 >= 2, ce qui implique an >= sqrt(2) pour n >= 2. Par conséquent, la suite est bornée inférieurement par sqrt(2) pour n >= 2. 4. Déduction que la suite converge : De la partie 2, nous avons montré que la suite est décroissante pour n >= 2. De la partie 3, nous avons montré que la suite est bornée inférieurement (par sqrt(2) pour n >= 2). Selon le théorème de convergence monotone, une suite qui est à la fois monotone (décroissante dans ce cas) et bornée inférieurement converge vers une limite finie. 5. Recherche de la limite et justification : Soit L la limite de la suite. Puisque la suite converge, nous pouvons prendre la limite des deux côtés de la relation de récurrence : lim (an+1) = lim ((an + 2/an) / 2) Lorsque n tend vers l'infini, an+1 tend vers L et an tend vers L. Donc, L = (L + 2/L) / 2. Maintenant, résolvons pour L : 2L = L + 2/L L = 2/L L^2 = 2 L = ±sqrt(2). Puisque nous avons prouvé que tous les termes de la suite sont positifs (partie 1), la limite doit également être positive. Par conséquent, L = sqrt(2). Justification : La limite est sqrt(2) car la suite est prouvée comme étant décroissante et bornée inférieurement par sqrt(2) pour n >= 2, et la limite de la relation de récurrence doit satisfaire L = (L + 2/L) / 2, ce qui donne L = sqrt(2) comme seule solution positive.

Nous analysons la suite définie par a₁ = 1 et aₙ₊₁ = (aₙ + 2/aₙ)/2 pour tout n ≥ 1. --- Partie 1 : Tous les termes sont positifs. Nous procédons par récurrence. Le cas de base est clair : a₁ = 1 > 0. Supposons maintenant que aₙ > 0 pour un certain n ≥ 1. Alors 2/aₙ > 0, donc aₙ + 2/aₙ > 0, et par conséquent aₙ₊₁ = (aₙ + 2/aₙ)/2 > 0. Par récurrence, aₙ > 0 pour tout n ≥ 1. --- Partie 2 : La suite est décroissante après le premier terme (c'est-à-dire aₙ₊₁ ≤ aₙ pour tout n ≥ 2, et plus précisément aₙ₊₁ ≤ aₙ pour tout n ≥ 1 avec égalité seulement si aₙ = √2). Nous calculons aₙ - aₙ₊₁ : aₙ - aₙ₊₁ = aₙ - (aₙ + 2/aₙ)/2 = aₙ/2 - 1/aₙ = (aₙ² - 2)/(2aₙ). Comme aₙ > 0, le signe de aₙ - aₙ₊₁ est le même que celui de aₙ² - 2. Nous montrons d'abord que aₙ² ≥ 2 pour tout n ≥ 2 (afin que la suite soit non croissante à partir de n = 2, et strictement décroissante sauf si aₙ = √2). Par l'inégalité AM-GM appliquée à aₙ et 2/aₙ (tous deux positifs) : aₙ₊₁ = (aₙ + 2/aₙ)/2 ≥ √(aₙ · 2/aₙ) = √2. Ainsi aₙ₊₁ ≥ √2 pour tout n ≥ 1, ce qui signifie que aₙ ≥ √2 pour tout n ≥ 2. Par conséquent, pour n ≥ 2, aₙ² ≥ 2, donc aₙ - aₙ₊₁ = (aₙ² - 2)/(2aₙ) ≥ 0, c'est-à-dire aₙ₊₁ ≤ aₙ. La suite est donc (non strictement) décroissante pour n ≥ 2. (En fait, elle est strictement décroissante sauf si aₙ = √2 exactement, mais la non-stricte suffit à nos fins.) Note : a₁ = 1 < √2, donc a₂ = (1 + 2)/2 = 3/2 > a₁, ce qui signifie que la suite augmente de n=1 à n=2, mais est décroissante à partir de n=2. --- Partie 3 : La suite est bornée inférieurement. D'après la Partie 2, nous avons établi par AM-GM que aₙ ≥ √2 pour tout n ≥ 2. Combiné avec a₁ = 1 > 0, chaque terme satisfait aₙ > 0. Plus utilement, la sous-suite (aₙ)ₙ≥₂ est bornée inférieurement par √2 > 0. La suite (aₙ)ₙ≥₂ est donc bornée inférieurement par √2. --- Partie 4 : La suite converge. La sous-suite (aₙ)ₙ≥₂ est monotone décroissante (d'après la Partie 2) et bornée inférieurement par √2 (d'après la Partie 3). D'après le Théorème de Convergence Monotone (toute suite réelle monotone et bornée converge), la suite (aₙ)ₙ≥₂ converge. Comme (aₙ)ₙ≥₁ ne diffère de (aₙ)ₙ≥₂ que par le terme unique a₁, la suite entière (aₙ) converge également vers la même limite. --- Partie 5 : Recherche de la limite. Soit L = lim_{n→∞} aₙ. Comme la suite converge, nous pouvons prendre les limites des deux côtés de la récurrence : aₙ₊₁ = (aₙ + 2/aₙ)/2. En prenant n → ∞ et en utilisant la continuité du côté droit (valide car L > 0) : L = (L + 2/L)/2. En multipliant les deux côtés par 2L : 2L² = L² + 2 L² = 2 L = ±√2. Comme aₙ ≥ √2 > 0 pour tout n ≥ 2, la limite doit satisfaire L ≥ √2 > 0, nous rejetons donc L = -√2. Par conséquent, lim_{n→∞} aₙ = √2. --- Résumé : La suite est bien définie et positive par récurrence. À partir de n = 2, elle est bornée inférieurement par √2 (par AM-GM) et décroissante (puisque aₙ² ≥ 2 pour n ≥ 2). Le Théorème de Convergence Monotone garantit la convergence, et la résolution de l'équation du point fixe donne la limite √2. Cette suite est précisément la méthode de Newton appliquée à f(x) = x² - 2, convergeant vers la racine carrée positive de 2.