Explique por qué la sucesión converge y encuentre su límite

1. Prueba de que cada término de la secuencia es positivo: Podemos demostrarlo por inducción. Caso base: a1 = 1, que es positivo. Paso inductivo: Supongamos que ak es positivo para algún entero k >= 1. Necesitamos demostrar que ak+1 también es positivo. ak+1 = (ak + 2/ak) / 2. Dado que ak > 0, entonces 2/ak > 0. La suma de dos números positivos (ak y 2/ak) es positiva. Dividir un número positivo por 2 da como resultado un número positivo. Por lo tanto, ak+1 > 0. Por inducción, cada término de la secuencia es positivo. 2. Prueba de que la secuencia es decreciente después del primer término: Necesitamos demostrar que an+1 <= an para n >= 1. an+1 - an = (an + 2/an) / 2 - an = (an + 2/an - 2an) / 2 = (2/an - an) / 2 = (2 - an^2) / (2an). Para que la secuencia sea decreciente, necesitamos que an+1 - an <= 0, lo que significa que (2 - an^2) / (2an) <= 0. Dado que ya hemos demostrado que todos los términos son positivos (an > 0), el denominador 2an es positivo. Por lo tanto, necesitamos que el numerador no sea positivo: 2 - an^2 <= 0, lo que implica an^2 >= 2. Veamos si an^2 >= 2 para n >= 2. Para n=1, a1 = 1, a1^2 = 1, que no es >= 2. Por lo tanto, la secuencia no es decreciente a partir del primer término. Para n=2, a2 = (a1 + 2/a1) / 2 = (1 + 2/1) / 2 = 3/2. a2^2 = (3/2)^2 = 9/4 = 2.25, que es >= 2. Ahora, demostremos por inducción que an^2 >= 2 para n >= 2. Caso base: Hemos demostrado que a2^2 = 9/4 >= 2. Paso inductivo: Supongamos que ak^2 >= 2 para algún entero k >= 2. Necesitamos demostrar que ak+1^2 >= 2. ak+1 = (ak + 2/ak) / 2. ak+1^2 = ((ak + 2/ak) / 2)^2 = (ak^2 + 4 + 4/ak^2) / 4. Dado que ak^2 >= 2, entonces 1/ak^2 <= 1/2. Por lo tanto, ak+1^2 = (ak^2 + 4 + 4/ak^2) / 4 >= (2 + 4 + 4(0)) / 4 = 6/4 = 1.5. Esto no es suficiente. Usemos un enfoque diferente para el paso inductivo de an^2 >= 2 para n >= 2. Sabemos que ak+1 = (ak + 2/ak) / 2. Consideremos ak+1^2 - 2 = ((ak + 2/ak) / 2)^2 - 2 = (ak^2 + 4 + 4/ak^2) / 4 - 2 = (ak^2 + 4 + 4/ak^2 - 8) / 4 = (ak^2 - 4 + 4/ak^2) / 4 = (ak - 2/ak)^2 / 4. Dado que (ak - 2/ak)^2 es un cuadrado, siempre es no negativo. Por lo tanto, ak+1^2 - 2 >= 0, lo que significa que ak+1^2 >= 2. Por lo tanto, para n >= 2, an^2 >= 2, lo que implica que an+1 - an <= 0. La secuencia es decreciente después del primer término. 3. Prueba de que la secuencia está acotada inferiormente: Del punto 1, hemos demostrado que cada término de la secuencia es positivo. Por lo tanto, la secuencia está acotada inferiormente por 0. Además, del punto 2, demostramos que para n >= 2, an^2 >= 2, lo que implica que an >= sqrt(2) para n >= 2. Por lo tanto, la secuencia está acotada inferiormente por sqrt(2) para n >= 2. 4. Deducción de que la secuencia converge: Del punto 2, hemos demostrado que la secuencia es decreciente para n >= 2. Del punto 3, hemos demostrado que la secuencia está acotada inferiormente (por sqrt(2) para n >= 2). Según el Teorema de Convergencia Monótona, una secuencia que es tanto monótona (decreciente en este caso) como acotada inferiormente converge a un límite finito. 5. Hallazgo del límite y justificación: Sea L el límite de la secuencia. Dado que la secuencia converge, podemos tomar el límite de ambos lados de la relación de recurrencia: lim (an+1) = lim ((an + 2/an) / 2) A medida que n tiende a infinito, an+1 tiende a L y an tiende a L. Entonces, L = (L + 2/L) / 2. Ahora, resolvemos para L: 2L = L + 2/L L = 2/L L^2 = 2 L = ±sqrt(2). Dado que hemos demostrado que todos los términos de la secuencia son positivos (punto 1), el límite también debe ser positivo. Por lo tanto, L = sqrt(2). Justificación: El límite es sqrt(2) porque se ha demostrado que la secuencia es decreciente y está acotada inferiormente por sqrt(2) para n >= 2, y el límite de la relación de recurrencia debe satisfacer L = (L + 2/L) / 2, lo que arroja L = sqrt(2) como la única solución positiva.

Analizamos la sucesión definida por a₁ = 1 y aₙ₊₁ = (aₙ + 2/aₙ)/2 para todo n ≥ 1. --- Parte 1: Todos los términos son positivos. Procedemos por inducción. El caso base es claro: a₁ = 1 > 0. Ahora supongamos que aₙ > 0 para algún n ≥ 1. Entonces 2/aₙ > 0, por lo que aₙ + 2/aₙ > 0, y por lo tanto aₙ₊₁ = (aₙ + 2/aₙ)/2 > 0. Por inducción, aₙ > 0 para todo n ≥ 1. --- Parte 2: La sucesión es decreciente después del primer término (es decir, aₙ₊₁ ≤ aₙ para todo n ≥ 2, y más precisamente aₙ₊₁ ≤ aₙ para todo n ≥ 1 con igualdad solo si aₙ = √2). Calculamos aₙ - aₙ₊₁: aₙ - aₙ₊₁ = aₙ - (aₙ + 2/aₙ)/2 = aₙ/2 - 1/aₙ = (aₙ² - 2)/(2aₙ). Dado que aₙ > 0, el signo de aₙ - aₙ₊₁ es el mismo que el signo de aₙ² - 2. Primero demostramos que aₙ² ≥ 2 para todo n ≥ 2 (para que la sucesión sea no creciente a partir de n = 2, y estrictamente decreciente a menos que aₙ = √2). Por la desigualdad AM-GM aplicada a aₙ y 2/aₙ (ambos positivos): aₙ₊₁ = (aₙ + 2/aₙ)/2 ≥ √(aₙ · 2/aₙ) = √2. Así, aₙ₊₁ ≥ √2 para todo n ≥ 1, lo que significa que aₙ ≥ √2 para todo n ≥ 2. Por lo tanto, para n ≥ 2, aₙ² ≥ 2, por lo que aₙ - aₙ₊₁ = (aₙ² - 2)/(2aₙ) ≥ 0, es decir, aₙ₊₁ ≤ aₙ. De ahí que la sucesión sea decreciente (no estrictamente) para n ≥ 2. (De hecho, es estrictamente decreciente a menos que aₙ = √2 exactamente, pero no estricto es suficiente para nuestros propósitos). Nota: a₁ = 1 < √2, por lo que a₂ = (1 + 2)/2 = 3/2 > a₁, lo que significa que la sucesión aumenta de n=1 a n=2, pero es decreciente a partir de n=2. --- Parte 3: La sucesión está acotada inferiormente. De la Parte 2, establecimos mediante AM-GM que aₙ ≥ √2 para todo n ≥ 2. Combinado con a₁ = 1 > 0, cada término satisface aₙ > 0. Más útilmente, la subsucesión (aₙ)ₙ≥₂ está acotada inferiormente por √2 > 0. Por lo tanto, la sucesión (aₙ)ₙ≥₂ está acotada inferiormente por √2. --- Parte 4: La sucesión converge. La subsucesión (aₙ)ₙ≥₂ es monótonamente decreciente (de la Parte 2) y acotada inferiormente por √2 (de la Parte 3). Por el Teorema de Convergencia Monótona (toda sucesión de números reales monótona y acotada converge), la sucesión (aₙ)ₙ≥₂ converge. Dado que (aₙ)ₙ≥₁ difiere de (aₙ)ₙ≥₂ solo por el término único a₁, la sucesión completa (aₙ) también converge al mismo límite. --- Parte 5: Encontrar el límite. Sea L = lim_{n→∞} aₙ. Dado que la sucesión converge, podemos tomar límites en ambos lados de la recurrencia: aₙ₊₁ = (aₙ + 2/aₙ)/2. Tomando n → ∞ y usando la continuidad del lado derecho (válido ya que L > 0): L = (L + 2/L)/2. Multiplicando ambos lados por 2L: 2L² = L² + 2 L² = 2 L = ±√2. Dado que aₙ ≥ √2 > 0 para todo n ≥ 2, el límite debe satisfacer L ≥ √2 > 0, por lo que descartamos L = -√2. Por lo tanto, lim_{n→∞} aₙ = √2. --- Resumen: La sucesión está bien definida y es positiva por inducción. A partir de n = 2, está acotada inferiormente por √2 (por AM-GM) y es decreciente (ya que aₙ² ≥ 2 para n ≥ 2). El Teorema de Convergencia Monótona garantiza la convergencia, y la resolución de la ecuación de punto fijo da el límite √2. Esta sucesión es precisamente el método de Newton aplicado a f(x) = x² - 2, que converge a la raíz cuadrada positiva de 2.