Preguntas educativas

Los cuatro valores son exactos, correctos, en forma irreducible y coinciden con la clave.

La reducción al orden de las no rojas y la afirmación de independencia son sólidas. El argumento de 6 huecos que da a cada roja una probabilidad K/6 es válido. El recuento para (c) es correcto. La parte (d) usa explícitamente las 3 rojas restantes con K/6 cada una, en lugar de simplemente sumar 1. La independencia de las posiciones rojas respecto al orden de las no rojas se afirma sin una justificación breve, lo que es una laguna menor.

Se responden todas las partes con justificaciones, y se cubre la distribución de K, incluida la razón por la que K=5 es imposible.

Bien organizada, con encabezados y pasos concisos. La notación T frente a K es clara. El formato es algo recargado.

Cada parte da la fracción y un decimal de 3 cifras, cada una tiene una justificación, la longitud es de 387 palabras (menos de 600), y la línea final de respuestas tiene la forma requerida.

Los cuatro resultados coinciden con la clave de respuestas: 3/5, 35/6, 50/63 y 25/4, con decimales correctos de tres cifras.

El argumento sobre el orden de las no rojas y la distribución de K son correctos. El método de los huecos maneja correctamente las esperanzas, y el argumento de conteo halla correctamente la probabilidad de que ya se hayan tomado todos los rojos. La parte (d) reduce explícitamente el número de rojos restantes a tres, en lugar de limitarse a sumar uno a la esperanza incondicional.

Cada parte solicitada incluye tanto un valor final como una justificación suficiente, y la distribución compartida del índice de parada queda completamente establecida.

La solución está bien organizada, define sus variables con claridad y presenta los cálculos de conteo y de esperanza en una secuencia accesible.

Cada respuesta incluye una fracción exacta reducida y un decimal de tres cifras. Cada parte está justificada, la longitud medida es de 387 palabras y la respuesta termina con la línea Answers requerida.

Los cuatro valores finales son exactos y correctos: 3/5, 35/6, 50/63 y 25/4, con sus equivalentes decimales de 3 cifras correctos.

El razonamiento es sobresaliente. El planteamiento que usa la distribución de K entre la secuencia no roja y las probabilidades de los huecos para las tazas rojas es matemáticamente riguroso, elegante y evita la trampa habitual de la parte (d).

Las cuatro partes se abordan por completo, cada una con una derivación completa y un valor final.

La solución está estructurada de forma lógica, con encabezados claros, notación matemática concisa y explicaciones muy fáciles de seguir.

Se siguió estrictamente cada instrucción: fracciones en su forma irreducible, aproximaciones decimales de 3 cifras, justificaciones incluidas, muy por debajo del límite de 600 palabras (387 palabras) y terminada con el formato requerido de una sola línea.

Los cuatro valores (3/5, 35/6, 50/63, 25/4) son exactos, están en forma irreducible y son correctos, al igual que las cantidades intermedias P(M), E[M]=7/2 y 13/63.

Los argumentos son sólidos. La parte (a) usa la simetría del último de 5, (b) enumera M y usa la esperanza por posición M/6, (c) cuenta C(M+3,4)/126 y (d) explica que quedan 3 rojas, lo que da 3/2·E[M]. Una pequeña laguna: no justifica explícitamente que, condicionando en M, la colocación de las posiciones rojas sea uniforme.

Cada parte está respondida y justificada, y se muestran los resultados intermedios. No falta nada de lo requerido.

La estructura es clara, con una sección por parte y cálculos mostrados. El LaTeX y el markdown abundantes pueden verse mal en texto plano, y el argumento de las posiciones está redactado de forma algo escueta.

Cada respuesta se da como fracción más un decimal de 3 cifras, cada parte está justificada, la longitud es de 517 palabras (menos de 600) y la respuesta termina con la línea Answers requerida.

Los cuatro resultados son correctos: 3/5, 35/6, 50/63 y 25/4, con decimales de tres cifras correctos.

El argumento de orden relativo para (a), la distribución del índice de parada y la simetría de las posiciones para (b), el conteo de colocaciones para (c) y el cálculo condicional de tazas restantes para (d) son válidos y convincentes. La parte (d) tiene explícitamente en cuenta que solo quedan tres tazas rojas, en lugar de simplemente sumar uno a la esperanza incondicional.

Cada parte solicitada incluye una fracción final, un decimal y un argumento de apoyo, seguido de un resumen completo de las respuestas.

La respuesta está claramente organizada por partes, define sus variables y hace que los cálculos de conteo y de esperanza sean fáciles de seguir.

Se cumplen todos los requisitos de la lista: fracciones reducidas y decimales de tres cifras en cada parte, justificaciones en todo el texto, 517 palabras dentro del límite de 600 y la línea final obligatoria de Respuestas.

Las cuatro respuestas numéricas son completamente correctas, tanto como fracciones exactas en forma irreducible como decimales de 3 cifras.

El razonamiento es sobresaliente en todas las partes. Utiliza argumentos de simetría elegantes (orden relativo de las tazas no rojas, ranuras intercambiables para las tazas rojas) y justifica explícitamente por qué condicionar a la primera taza roja cambia el número de rojas restantes en la parte (d).

Cada parte solicitada (a)–(d) se aborda por completo, con derivaciones completas y valores finales.

La presentación es limpia, concisa y fácil de seguir, con una notación matemática bien estructurada.

Se respetan todas las instrucciones y restricciones: el número de palabras está muy por debajo de 600, las fracciones y los decimales están bien formateados, se incluyen las justificaciones y se usa el formato exacto de la línea final requerida.

(a) 3/5, (b) 35/6, (c) 50/63 y (d) 25/4 coinciden con la clave. La respuesta evita la trampa de 41/6 en (d).

La distribución de K se justifica enumerando los prefijos de parada. El argumento de la esperanza de los seis huecos da 10k/6 de forma clara, y se afirma la independencia de las posiciones respecto del orden de colores. En (c) se condiciona correctamente en K y se usa C(k+3,4)/126. En (d) se explica que solo quedan 3 rojos, lo que da huecos de 3/6. La redacción en (c) sobre que la siguiente taza provoca la parada es algo escueta.

Las cuatro partes están respondidas, cada una con una justificación, e incluye la línea de resumen final. No falta nada de lo requerido.

Bien organizado con encabezados y resultados enmarcados, y la lógica es fácil de seguir. El LaTeX abundante puede no mostrarse bien como texto plano, y algunos pasos están comprimidos.

Cada parte da una fracción exacta más un decimal de 3 cifras. Con 302 palabras está muy por debajo del límite de 600 palabras, y termina con la línea de Respuestas requerida. El uso de punto y coma como separadores en esa línea es aceptable.

Los cuatro resultados son correctos: 3/5, 35/6, 50/63 y 25/4. Cada fracción está en su forma más simple y cada decimal está correctamente redondeado a tres cifras decimales.

La distribución de parada de las no rojas está correctamente justificada. La simetría establece (a), los intervalos intercambiables establecen (b), el condicionamiento y el conteo establecen (c), y (d) ajusta correctamente las expectativas de los intervalos tras retirar la primera taza roja.

Cada parte solicitada incluye una justificación completa y ambas formas numéricas requeridas. La parte (d) cuenta explícitamente la taza roja inicial.

La notación se define con claridad, la distribución de parada compartida evita repeticiones y las secciones separadas y etiquetadas facilitan el seguimiento de los argumentos.

Cumple todos los puntos de la lista de verificación: fracciones reducidas y decimales con tres cifras decimales, una justificación para cada parte, 302 palabras dentro del límite de 600 palabras y la línea final requerida de Respuestas.

Todos los valores son exactos, totalmente reducidos, correctamente convertidos a decimales de tres cifras y coinciden exactamente con la clave: (a) 3/5 = 0.600, (b) 35/6 = 5.833, (c) 50/63 = 0.794 y (d) 25/4 = 6.250.

El razonamiento es sobresaliente. El modelo aísla elegantemente el orden de las tazas no rojas, determina la distribución de las tazas no rojas extraídas hasta la parada, usa el espaciado de las tazas rojas entre las no rojas mediante argumentos de intercambiabilidad y de huecos, plantea correctamente el condicionamiento hipergeométrico en (c) y actualiza explícitamente el número restante de tazas rojas en (d) en lugar de caer en la trampa habitual.

Cada subpregunta solicitada (a)-(d) se responde por completo, con la fracción exacta y el decimal, junto con una justificación completa.

La solución está excepcionalmente bien estructurada, es concisa y fácil de leer, con una notación matemática limpia en todo el texto.

Se siguieron todas las instrucciones: muy por debajo del límite de 600 palabras (302 palabras), se proporcionan fracciones exactas en su forma reducida más las formas decimales redondeadas a tres cifras, y la respuesta concluye con el resumen de una línea 'Answers:' especificado.

(a) 3/5, (b) 35/6, (c) 50/63 y (d) 25/4 coinciden con la clave. Revisé por muestreo las probabilidades de supervivencia listadas (35/36, 19/21, 1/6, 27/28) y las sumas (1470/252, 294/56), y son correctas. El recuento de 260 órdenes favorables también es coherente.

(a) ofrece un argumento convincente de simetría del último de cinco, y (c) da una fórmula correcta de conteo por prefijo/sufijo. Sin embargo, (b) y (d) solo afirman listas de valores de P(T>n) 'por conteo' sin mostrar cómo se obtiene ninguno. (d) dice que la primera roja no puede detener el proceso y trabaja con las 8 tazas restantes, pero nunca indica explícitamente que contienen 3 rojas, 3 azules y 2 verdes. Eso se queda por debajo del nivel de 9 o más.

Se responden las cuatro partes, cada una con alguna justificación y con forma exacta y decimal. Se omiten las derivaciones de las probabilidades intermedias en (b) y (d).

La respuesta está bien organizada y es concisa, con una estructura clara por parte. Las listas de probabilidades de supervivencia son difíciles de verificar para un lector sin la derivación, y la condición de (c) está expresada de forma algo densa.

Cada parte da una fracción irreducible y un decimal de 3 cifras. Cada parte tiene una justificación, la respuesta tiene 242 palabras (muy por debajo de 600) y termina con una línea de Respuestas con formato correcto.

Los cuatro valores exactos coinciden con la clave de respuestas, y todos los decimales están correctamente redondeados. La esperanza condicional en (d) recalcula correctamente el proceso con ocho tazas restantes, en lugar de sumar uno a la esperanza incondicional.

El argumento de simetría en (a) y el conteo explícito del orden de colores en (c) son sólidos. El método de suma de supervivencia en (b) y (d) también es válido, pero las probabilidades de supervivencia listadas no se derivan explícitamente; una fórmula de conteo o un cálculo de muestra haría estos argumentos más transparentes.

Cada parte solicitada incluye una fracción exacta, un decimal y una justificación. La parte (d) incluye el primer sorteo rojo en el total.

La respuesta es concisa, está bien organizada y es fácil de seguir. La especificación del conteo de prefijos y sufijos es clara, aunque las listas de probabilidades de supervivencia están algo comprimidas.

Todas las fracciones están en su forma irreducible, todos los decimales tienen tres cifras decimales, cada parte está justificada, la longitud medida es inferior a 600 palabras y la respuesta termina con la línea Answers requerida.

Los cuatro valores finales son perfectamente exactos y se presentan tanto en forma de fracción irreducible exacta como en decimal de 3 cifras.

El razonamiento es matemáticamente sólido y elegante en todas las partes: usa simetría para (a), fórmulas de suma de colas para (b) y (d), y conteo complementario de permutaciones para (c). La parte (d) reconoce correctamente que, al condicionar a una taza roja, quedan 8 tazas (3 rojas, 3 azules, 2 verdes) y recalcula adecuadamente el número esperado de extracciones restantes.

Cada subparte (a)-(d) se aborda por completo, con justificaciones completas y todas las representaciones numéricas solicitadas.

Las explicaciones están excepcionalmente bien estructuradas, son fáciles de seguir y matemáticamente concisas.

Todas las instrucciones se siguieron sin fallos, incluidas las restricciones exactas de límite de palabras y el formato requerido de la línea de resumen final.

(a) 3/5, (b) 35/6 y (d) 25/4 coinciden con la clave. (c) se da como 4/7 (0,571), pero el valor correcto es 50/63 (0,794). Una parte incorrecta limita este criterio a 7.

Los argumentos de simetría para (a) y (b) son sólidos, y la deducción de la distribución de K es cuidadosa. (d) explica correctamente que quedan 3 rojas entre 8 posiciones, lo que da un espaciado de 9/6, en lugar de simplemente sumar 1. En (c) hay un error de desplazamiento en una unidad: la parada se produce en la K-ésima taza especial, por lo que las 4 rojas deben estar en las primeras K+3 posiciones, no K+4. Su afirmación sobre "las últimas 5−K tazas" es, por tanto, inválida.

Se abordan las cuatro partes, cada una con una justificación y un valor final. No falta nada de lo requerido.

La respuesta está bien organizada, con una idea clave explícita y un desglose claro de los casos. La frase que dice que la última taza no roja se toma "después de detenerse" es algo confusa, ya que en realidad nunca se toma.

Cada parte da una fracción exacta en su forma irreducible y un decimal con 3 cifras. Cada parte tiene una justificación, la extensión es de 399 palabras (menos de 600) y la respuesta termina con la línea de Respuestas requerida.

Las partes (a), (b) y (d) coinciden exactamente con la clave de respuestas. La parte (c) da 4/7 en lugar del correcto 50/63 = 0.794. Se aplica el límite de un valor final incorrecto.

El argumento de simetría, la enumeración del índice de parada y el método de posición esperada son sólidos. La parte (d) tiene en cuenta correctamente los tres rojos restantes. En (c), colocar todos los rojos dentro de las primeras K+4 posiciones no garantiza que hayan sido extraídos en el momento de la K-ésima taza no roja; la cota requerida es K+3.

Se abordan las cuatro partes con argumentos, fracciones exactas, decimales y una línea de respuesta final. No se omite nada, aunque la solución de (c) es sustancialmente incorrecta.

Organización clara parte por parte y enumeración explícita que hacen que la solución sea fácil de seguir. La notación distingue el índice de parada de los no rojos del número total de extracciones, y el cálculo condicional de (d) es especialmente claro.

Cumple todos los requisitos de formato: fracciones reducidas y decimales con tres cifras para cada parte, una justificación para cada una, 399 palabras dentro del límite de 600 palabras, y la línea final de Respuestas requerida. Una puntuación de 9 o más no es posible porque no las cuatro respuestas son correctas.

Las partes (a), (b) y (d) son completamente correctas. La parte (c) tiene una respuesta final incorrecta (4/7 ≈ 0.571 en lugar de 50/63 ≈ 0.794). Según la política, la corrección se limita a 7.0 por un valor erróneo.

Los argumentos de simetría y espaciado para (a), (b) y (d) son perspicaces, están bien explicados y son matemáticamente sólidos. En (c), el razonamiento permite erróneamente que los 4 rojos se coloquen en cualquier lugar de las primeras 4+K posiciones, en lugar de exigir que los 4 rojos precedan a la K-ésima taza de parada específica no roja, lo que causa un error de desplazamiento.

Cada subpregunta (a)-(d) se aborda a fondo con derivación y ambos formatos numéricos solicitados.

La redacción está excepcionalmente bien estructurada, es fácil de seguir y es transparente en sus pasos y notación.

Todas las instrucciones se siguieron perfectamente: fracciones exactas en su forma irreducible, decimales redondeados a 3 cifras, menos de 600 palabras (399 palabras) y terminó con el formato exacto requerido 'Answers:'.

Los cuatro valores no coinciden con la clave: (a) 2/5 frente a 3/5, (b) 19/5 frente a 35/6, (c) 4/9 frente a 50/63, (d) 17/4 frente a 25/4. Con dos o más incorrectas el máximo es 4, pero aquí ninguna es correcta, así que la puntuación es prácticamente cero.

En (a) la idea de simetría es medio acertada, pero concluye el color equivocado: si se detiene en verdes, la última de las cinco es azul. En (b) queda un error P(N≥2)=11/9 sin corregir, y 19/5 se afirma sin cálculo. (c) usa un argumento inválido sobre que la última taza es la taza de parada. (d) afirma 13/4 sin derivación.

Se abordan las cuatro partes con una fracción y un decimal, pero las justificaciones de (b) y (d) están prácticamente ausentes o abandonadas a mitad de camino.

Las secciones están organizadas, pero (b) contiene una autocorrección visible con 'Espera' y un enfoque abandonado. El texto es prolijo y confuso en algunos puntos.

Hay fracciones en forma reducida, decimales de 3 cifras y una línea final de Respuestas. Sin embargo, con 853 palabras supera en más de un 10% el límite de 600, lo que cuesta al menos 2 puntos, y el requisito de justificación prácticamente no se cumple en (b) y (d).

Ninguno de los cuatro valores finales coincide con la clave de respuestas: las respuestas correctas son 3/5, 35/6, 50/63 y 25/4. Se justifica un crédito limitado por expresar correctamente el tiempo de parada como min(X2, Y3) e identificar la composición restante tras el primer sorteo rojo.

En (a), que una azul sea la última entre las cinco tazas no rojas significa que las verdes terminan primero, pero el argumento invierte esto. En (b), el marco de suma de colas es válido, pero la probabilidad mostrada supera 1, la longitud máxima de parada indicada es incorrecta y la esperanza final no está justificada. En (c), agotar las rojas no obliga a parar en la novena taza; de hecho, la parada no puede producirse tan tarde. En (d), la composición restante se ajusta correctamente, pero la esperanza adicional se afirma sin cálculo y es incorrecta.

Las cuatro partes solicitadas se abordan explícitamente, cada una con una fracción y un decimal, y el resumen final incluye todas las respuestas. Sin embargo, los cálculos de la esperanza en (b) y (d) no se completan ni se demuestran.

Los encabezados y las viñetas de las respuestas finales facilitan la navegación. Sin embargo, la corrección 'Wait' sin resolver, el marcador de posición 'max(5,?)' y el cambio abrupto a un cálculo de distribución inacabado hacen que (b) resulte especialmente confusa. Varias afirmaciones seguras contradicen la regla de parada.

La respuesta proporciona fracciones en forma reducida y decimales de tres cifras para todas las partes, intenta argumentar cada una y termina con la línea de respuestas requerida. Su longitud medida es de 853 palabras, lo que supera el límite de 600 palabras en más de un 10 %, lo que justifica una deducción de dos puntos.

Los cuatro valores finales son incorrectos: (a) es 2/5 en lugar de 3/5; (b) es 19/5 en lugar de 35/6; (c) es 4/9 en lugar de 50/63; y (d) es 17/4 en lugar de 25/4. Según la política de evaluación, tener dos o más valores incorrectos limita la corrección a 4.0; sin respuestas correctas, se justifica una puntuación muy baja.

El razonamiento es erróneo en todo el texto. En (a), el argumento de simetría está invertido (si la última taza entre las 5 es verde, las 3 azules se tomaron primero, lo que significa que la parada ocurrió en azul). En (b), la respuesta empieza a escribir probabilidades de cola, descubre una inconsistencia a mitad del desarrollo y afirma abruptamente una suma incorrecta sin derivación válida. En (c), asume una simetría falaz según la cual la parada ocurre en la 9.ª taza con probabilidad 5/9. En (d), el índice esperado de parada está mal calculado.

La respuesta intenta resolver las cuatro partes y proporciona tanto fracciones como decimales con explicaciones, pero las derivaciones están rotas o abandonadas a mitad de camino.

Las explicaciones están bien formateadas con encabezados y prosa legible, pero la presentación se vuelve confusa en la parte (b), cuando el autor interrumpe su propio trabajo ('Wait, N >= 2 means...').

La respuesta proporciona las fracciones exactas, los decimales, las justificaciones y la línea final de Respuestas que se pidieron. Sin embargo, incumple gravemente la restricción de longitud, con 853 palabras frente al máximo de 600 (más de un 40 % por encima), lo que justifica una penalización.