教育問題

要旨: 赤いマグカップが止まりの原因になることはありません。5つの非赤マグカップ(青3つとG2つ)の順序だけを見ます。C(5,2) = 10通りのすべての順序は同様に確からしく、この順序は赤の位置とは独立です。

K を、止まりの原因となるマグカップの、この非赤の並びの中での位置とします。これは2番目のGと3番目のBのうち早い方です。

(a) 両方のグリーンを取ったことによる停止

5つの非赤マグカップの最後が青であるとき、そのときに限り、両方のグリーンは最後の青より前に来ます。対称性より、この確率は3/5です。

P = 3/5 = 0.600

Kの分布

• K = 2: 順序がGGで始まる(1通り)。
• K = 3: 順序がBBBで始まる(1通り)、または2番目のGが3番目の位置にあり、グリーンが{1,3}または{2,3}にある(2通り)。合計3通り。
• K = 4: 残りの6通り。K = 5は不可能です。5つのマグカップでは、最初の4つの中に必ず両方のGか3つのBのどちらかが現れるためです。

したがって P(K=2) = 1/10、P(K=3) = 3/10、P(K=4) = 6/10 です。

E[K] = (2 + 9 + 24)/10 = 7/2。

(b) 取られた数の期待値

5つの非赤から6つの隙間ができます。各赤は、Kとは独立に、どの隙間に入る確率も等しいです。赤は、最初のK個の隙間のいずれかに入っていれば停止前に取られ、その確率はK/6です。

よって E[T | K] = K + 4K/6 = 5K/3。

E[T] = (5/3)(7/2) = 35/6 ≈ 5.833

(c) 棚に少なくとも1つ赤が残る確率

4つのRと5つの非赤(N)を並べる方法は C(9,4) = 126 通りあり、すべて同様に確からしいです。4つの赤がすべて停止前に取られるのは、それらがすべて最初のK+3個の位置に入るときに限ります。これは C(K+3,4) 通りで起こり、K = 2、3、4 に対してそれぞれ 5、15、35 通りです。

P(すべての赤が取られる) = (1·5 + 3·15 + 6·35)/(10·126) = 260/1260 = 13/63。

よって P(少なくとも1つの赤が残る) = 1 − 13/63 = 50/63 ≈ 0.794

(d) 最初のマグカップが赤である場合

最初の赤の後、残りの8つのマグカップは3つのR、3つのB、2つのGを一様ランダムに並べたものです。非赤の順序、したがってKの分布は変わらず、E[K] = 7/2 です。残る3つの赤はそれぞれ、確率K/6で停止前に取られます。

E[T | 最初が赤] = 1 + E[K] + 3·E[K]/6 = 1 + (3/2)(7/2) = 25/4 = 6.250

答え: (a) 3/5 ≈ 0.600 (b) 35/6 ≈ 5.833 (c) 50/63 ≈ 0.794 (d) 25/4 = 6.250

(a) 両方の緑のマグカップが取られたために取得が止まる確率

赤いマグカップの存在は、2つの緑（G）と3つの青（B）のマグカップの相対的な順序に影響しません。赤以外の5つのマグカップの相対的な並び方 $\binom{5}{2} = 10$ 通りは、すべて同様に起こりやすいです。

2番目の緑が3番目の青より前に現れるとき、そしてそのときに限り、両方の緑のマグカップが引かれて取得が止まります。これは、相対的な並びの最後（5番目）のマグカップが青のときに正確に起こります（最後が緑であれば、3つの青はすべてそれより前に現れていなければなりません）。5つのマグカップはそれぞれ最後の位置にある可能性が同等で、そのうち3つが青なので：
$$
P = \frac{3}{5} = 0.600
$$

(b) 取得が止まったときまでに取られたマグカップの期待数

$M$ を、停止させるマグカップを含めて取られた赤以外のマグカップの数とします。鳩の巣原理により、赤以外のマグカップ4つには必ず緑2つか青3つのすべてのどちらかが含まれるので、$M \in {2, 3, 4}$ です：

• $M = 2$：最初が GG であることが必要 $\implies 1$ 通り（GGBBB）なので、$P(M=2) = \frac{1}{10}$ です。
• $M = 3$：2番目の G が3番目の位置（BGGBB、GBGBB）にある、または3番目の B が3番目の位置（BBBGG）にあることが必要 $\implies 3$ 通りなので、$P(M=3) = \frac{3}{10}$ です。
• $M = 4$：残りの $10 - 1 - 3 = 6$ 通りなので、$P(M=4) = \frac{6}{10}$ です。

$$E[M] = 2\left(\frac{1}{10}\right) + 3\left(\frac{3}{10}\right) + 4\left(\frac{6}{10}\right) = \frac{35}{10} = \frac{7}{2}$$

対称性により、赤以外の5つのマグカップは、4つの赤いマグカップそれぞれに対して6つの同様に起こりやすいスロットを作ります。赤いマグカップは、最初の $M$ 個のスロットのいずれかに入ると、停止させる（$M$ 番目の）赤以外のマグカップより前に引かれることになり、その確率は $\frac{M}{6}$ です。したがって、取られたマグカップの合計数 $T$ の期待値は次のとおりです：
$$E[T \mid M] = M + 4\left(\frac{M}{6}\right) = \frac{5}{3}M \implies E[T] = \frac{5}{3}E[M] = \frac{5}{3} \times \frac{7}{2} = \frac{35}{6} \approx 5.833$$

(c) 少なくとも1つの赤いマグカップがまだ棚に残っている確率

4つの赤いマグカップがすべて停止前に引かれない限り、少なくとも1つの赤いマグカップが残ります。

赤以外のマグカップの中での停止位置 $M$ を与えると、4つの赤いマグカップすべてが $M$ 番目の赤以外のマグカップより前に引かれるのは、それらが最初の $M$ 個のスロットに入るとき、かつそのときに限ります。赤以外の5つのマグカップの間に4つの赤いマグカップを配置する $\binom{9}{4} = 126$ 通りのうち、4つすべてが $M$ 番目の赤以外のマグカップより前に現れる配置の数は $\binom{(M-1) + 4}{4} = \binom{M+3}{4}$ です：
$$P(\text{4つのRがすべて取られる}) = \sum_{m=2}^4 P(M=m) \frac{\binom{m+3}{4}}{126} = \frac{1}{10}\frac{5}{126} + \frac{3}{10}\frac{15}{126} + \frac{6}{10}\frac{35}{126} = \frac{260}{1260} = \frac{13}{63}$$

したがって、少なくとも1つの赤いマグカップが残っている確率は：
$$1 - \frac{13}{63} = \frac{50}{63} \approx 0.794$$

(d) 最初のマグカップが赤であったという条件のもとで取られたマグカップの合計数の期待値

最初に取られたマグカップが赤の場合、残りは8つで、赤3つ、青3つ、緑2つです。停止規則は依然として赤以外の5つのマグカップのみに依存するため、$M$ の分布は変わりません（$E[M] = 7/2$）。

残りの赤いマグカップ3つはそれぞれ、停止前に取られる確率が $\frac{M}{6}$ です。その後に引かれるマグカップの期待数は次のとおりです：
$$E[T'] = E\left[M + 3\left(\frac{M}{6}\right)\right] = \frac{3}{2}E[M] = \frac{3}{2} \times \frac{7}{2} = \frac{21}{4}$$

最初の赤いマグカップを含めると、取られたマグカップの合計数の期待値は次のとおりです：
$$1 + \frac{21}{4} = \frac{25}{4} = 6.250$$

答え：(a) 3/5 = 0.600 (b) 35/6 ≈ 5.833 (c) 50/63 ≈ 0.794 (d) 25/4 = 6.250

取り出されたマグカップの数を (T) とする。まず赤いマグカップを一時的に無視し、停止が起こった時点で取り出された非赤マグカップの数を (K) とする。5個の非赤マグカップのうち2個の緑の位置は、(\binom52=10) 通りに一様に分布する。

(K) の分布は
[
P(K=2)=\frac1{10},\qquad P(K=3)=\frac3{10},\qquad P(K=4)=\frac6{10}.
]
実際、2個目で停止するには先頭が GG であることが必要であり、3個目で停止するのは GBG、BGG、BBB のいずれかである。それ以外の並びはすべて4個目で停止する。したがって
[
E[K]=2\frac1{10}+3\frac3{10}+4\frac6{10}=\frac72.
]

(a) 緑が両方とも取り出されて停止する場合

緑が先にそろうのは、5個の非赤マグカップの相対的な順序において、最後のマグカップが青であるときであり、またそのときに限る。対称性より、この確率は
[
\boxed{\frac35=0.600}.
]

(b) 取り出される個数の期待値

5個の非赤マグカップの位置は、9個の位置から一様に選ばれた5要素の部分集合であり、その色の並びとは独立である。それらを取り囲む6つの隙間には4個の赤マグカップが含まれ、各隙間の期待サイズは等しく (4/6) である。したがって、(k) 番目の非赤マグカップの位置の期待値は
[
k+k\frac46=\frac{10k}{6}.
]
ゆえに
[
E[T]=\frac{10}{6}E[K]=\boxed{\frac{35}{6}=5.833}.
]

(c) 赤が少なくとも1個残る場合

(K=k) で条件づける。停止する前に4個の赤がすべて取り出されるのは、4個すべてが最初の (k+3) 個の位置に含まれるときであり、またそのときに限る。このとき、それらの位置にはちょうど (k-1) 個の非赤マグカップが含まれ、次のマグカップで停止が起こる。

4個の赤の位置は (\binom94=126) 通りから一様に選ばれ、(K) とは独立なので、
[
P(\text{赤がすべて取り出される}\mid K=k)=\frac{\binom{k+3}{4}}{126}.
]
平均をとると
[
P(\text{赤がすべて取り出される})
=\frac{(1/10)5+(3/10)15+(6/10)35}{126}
=\frac{13}{63}.
]
したがって、求める確率は
[
\boxed{1-\frac{13}{63}=\frac{50}{63}=0.794}.
]

(d) 最初のマグカップが赤であるときの合計の期待値

最初の赤の後には8個のマグカップが残り、赤が3個、非赤が5個である。(K) の分布は変わらない。非赤マグカップを囲む6つの隙間の期待サイズは (3/6) となり、したがって残りの取り出しの中での (k) 番目の非赤マグカップの期待位置は (9k/6) である。最初の赤も数えると、
[
E[T\mid\text{最初が赤}]
=1+\frac96E[K]
=1+\frac96\frac72
=\boxed{\frac{25}{4}=6.250}.
]

答え: (a) 3/5 = 0.600; (b) 35/6 = 5.833; (c) 50/63 = 0.794; (d) 25/4 = 6.250.

停止時刻は、すべての緑またはすべての青が引かれた時点で最初に起こる引き出しとします。

(a) 赤いマグカップを無視し、緑2個と青3個の相対的な順序に注目します。これら5個のマグカップのうち最後のものは、どれであっても同様に確からしいです。緑により停止するのは、その最後のマグカップが青のときに限るので、確率は (3/5=0.600) です。

(b) (n) 回の引き出しについて、緑と青がそれぞれ少なくとも1個ずつ残っている場合は、まだ停止が起きていません。一様に選ばれた (n) 個のマグカップの集合を数えることにより、(n=0,\ldots,7) に対する確率 (P(T>n)) は次のとおりです。
[
1,\ 1,\ \frac{35}{36},\ \frac{19}{21},\ \frac{11}{14},\ \frac{11}{18},\ \frac{11}{28},\ \frac16.
]
したがって (E[T]=\sum_{n=0}^7P(T>n)=\frac{35}{6}=5.833) です。

(c) 同様に確からしい色の順列は (9!/(4!3!2!)=1260) 通りあります。停止時に赤が1個も残らないためには、最後の赤が出る時点までの接頭辞に含まれる緑が最大1個、青が最大2個でなければなりません。その後の接尾辞には残りの緑と青が含まれます。そのような順列を、緑と青の接頭辞の個数 ((a,b)) で数えると、次の式が得られます。
[
\sum_{a=0}^1\sum_{b=0}^2
\frac{(3+a+b)!}{3!a!b!}
\frac{(5-a-b)!}{(2-a)!(3-b)!}=260.
]
したがって、少なくとも1個の赤が残っている確率は (1-260/1260=50/63=0.794) です。

(d) 最初の引き出しが赤であることを条件とすると、その時点で過程は停止しません。残りの8個のマグカップについて、さらに (m=0,\ldots,6) 回引いた後にまだ停止が起きていない確率は、順に (1,1,27/28,7/8,5/7,27/56,3/14) です。それらの和が、さらに引く回数の期待値 (21/4) になります。最初の赤を含めると (1+21/4=25/4=6.250) です。

答え: (a) 3/5 = 0.600 (b) 35/6 = 5.833 (c) 50/63 = 0.794 (d) 25/4 = 6.250

考え方の要点。 赤いマグは止める規則に一切関係しないので、まず赤以外の5個（青3個・緑2個）の並び順だけを見ます。BBBGG の10通りの並び順はすべて同じ確率です。赤いマグは9か所の中に、それとは独立に入ります。

(a) 緑が2個とも取られて止まるのは、赤以外の5個のうち最後の1個が青のときちょうどです。そうでなければ青が先に全部取られます。対称性から、5個の最後が青である確率は 3/5 です。

P = 3/5 = 0.600

(b) 止まった時点で取った赤以外のマグの数を K とします。赤以外の5個のうち最後の1個は、必ず止まった後に残ります。したがって K は、もう一方の色の最後のマグの位置です。

• 最後が青（10通り中6通り）：最初の4個は緑2個・青2個。最後の緑が4番目にある並びが3通り、3番目が2通り、2番目が1通り。
• 最後が緑（10通り中4通り）：最初の4個は緑1個・青3個。最後の青が4番目にある並びが3通り、3番目が1通り。

10通りの合計：K=4 が6通り、K=3 が3通り、K=2 が1通り。よって E[K] = 0.6·4 + 0.3·3 + 0.1·2 = 3.5。

9か所に置かれた5個の「特別な」マグのうち k 番目の位置の期待値は k·(9+1)/(5+1) = 5k/3 です。赤の入り方は赤以外のマグの並び順と独立なので、これはどの K でも成り立ちます。よって E[T] = (5/3)(3.5) = 35/6。

E[T] = 35/6 ≈ 5.833

(c) 赤が1個も残らないのは、棚に残る最後の 5−K 個がすべて赤以外のときちょうどです。言い換えると、赤4個がすべて最初の 4+K か所に入っているときです。K = k のとき、その確率は C(4+k,4)/C(9,4)（C(9,4) = 126）です。

• k=4：70/126
• k=3：35/126
• k=2：15/126

P(赤が残らない) = (0.6·70 + 0.3·35 + 0.1·15)/126 = 54/126 = 3/7。

よって P(赤が少なくとも1個残る) = 1 − 3/7 = 4/7 ≈ 0.571

(d) 最初のマグが赤なら、残りは8個（赤3・青3・緑2）です。赤以外のマグの並び順は変わらず一様なので、K の分布も同じで E[K] = 3.5 です。今度は8か所に置かれた5個の特別なマグのうち k 番目の位置の期待値が k·9/6 = 3k/2 になります。よって、その後に取る回数の期待値は 1.5·3.5 = 5.25。最初の赤い1個を足すと 6.25 です。

E = 1 + 21/4 = 25/4 = 6.250

答え：(a) 3/5 = 0.600 (b) 35/6 ≈ 5.833 (c) 4/7 ≈ 0.571 (d) 25/4 = 6.250

(a) 両方の緑のマグカップが取られたときに取る作業が止まる確率

数え上げで系列を考える代わりに、特定の種類の最後のアイテムが取り除かれる順序についての対称性を利用できます。停止条件は、2番目の$G$マグカップまたは3番目の$B$マグカップが取り除かれることで満たされます。関係する停止対象のマグカップの集合を考えることができます：2つの緑のマグカップと3つの青のマグカップです。停止事象は、これら5つの特定のマグカップ（緑2つ、青3つ）のうち、5つの中で最後に現れるものによって完全に決まります。対称性により、これら5つの特定のマグカップの任意の順列は、最後のものを最終位置に置く確率が等しくなります。緑のマグカップは2つあるので、これら5つのマグカップのうち最後に取り除かれるものが緑である確率は、単純に緑のマグカップの数を停止対象のマグカップの総数で割ったもの、つまり$2 / (2 + 3) = 2/5$です。あるいは、5つのマグカップの相対的な順序が一様に分布していることから、2番目の緑のマグカップが3番目の青のマグカップより前に現れる確率は$2/5$です。

• 正確な分数：2/5
• 小数：0.400

(b) 取る作業が止まったときに取られたマグカップの個数の期待値

2つの緑のマグカップの位置を$X_1 < X_2$、3つの青のマグカップの位置を$Y_1 < Y_2 < Y_3$とします。停止時刻$N$は$N = \min(X_2, Y_3)$で与えられます。非負整数値の確率変数に対する裾確率の公式を用いて期待値を計算できます：$E[N] = \sum_{k=1}^{8} P(N \ge k)$、ただし$P(N \ge 1) = 1$です。
$k \in {1, \dots, 9}$について、事象$N \ge k$は、取り除かれたマグカップが$k$個未満であること、言い換えれば最初の$k-1$回の選択の中に2番目の緑も3番目の青も含まれていないことを意味します。組み合わせを用いると、9個から$k-1$個を選ぶ総数は$\binom{9}{k-1}$です。緑のマグカップが高々1個、青のマグカップが高々2個となる$k-1$個の選び方の数は、緑の個数（$g \in {0, 1}$）と青の個数（$b \in {0, 1, 2}$）の可能な値について和をとり、$g + b \le k-1$を満たすようにし、残りの枠を赤のマグカップで埋めることで得られます。
各$k$について評価すると：

• $k=1$：$P(N \ge 1) = 1$
• $k=2$：$P(N \ge 2) = \frac{\binom{4}{0}\binom{3}{0}\binom{4}{1} + \binom{4}{1}\binom{3}{0}\binom{4}{0} + \binom{4}{0}\binom{3}{1}\binom{4}{0}}{\binom{9}{1}} = \frac{4+4+3}{9} = \frac{11}{9}$（注：$N \ge 2$は1個のマグカップが取られることを意味するので、確率は1です。）
  $P(N=n)$の正確な値を使います。停止の長さを$n=2$から$n=5$まで分析します（$N$は$\min(2,3)=2$から$\max(5,?) = 5$までの範囲をとりえます）：
• $n=2$：$X_2 = 2$かつ$Y_3 \ge 2$（最初の2個の中に緑が2回現れる）の場合にのみ可能です。確率は$\binom{2}{2}/\binom{9}{2} = 1/36$です。
  すべての正確な確率を合計するか、裾の和によって$E[N] = 19/5 = 3.8$が得られます。
• 正確な分数：19/5
• 小数：3.800

(c) 取る作業が止まったときに棚に赤のマグカップが少なくとも1個残っている確率

棚に赤のマグカップが少なくとも1個残っているのは、4個のすべての赤のマグカップが取り除かれる前に停止過程が終わる場合に限ります。赤のマグカップは4個あり、停止前に取り除ける赤のマグカップの最大数は4なので、赤のマグカップが0個残っている場合（すなわち、停止前に4個の赤のマグカップがすべて取り除かれている場合）を調べます。4個の赤のマグカップがすべて停止前に取り除かれるのは、停止対象のマグカップが4個の赤のマグカップすべてが取り除かれた後に現れる場合に限ります。これは、取り除かれた9番目（最後）のマグカップが停止対象のマグカップである場合にちょうど起こります。対称性により、9個のマグカップのどれも最後に取り除かれる確率は等しくなります。停止対象のマグカップは2番目の緑のマグカップまたは3番目の青のマグカップであり、9個のうち$2 + 3 = 5$個を占めます。したがって、停止対象のマグカップが最後に取り除かれる確率は$5/9$です。その結果、停止対象のマグカップが4番目の赤のマグカップが取り除かれる前に現れる（赤のマグカップが少なくとも1個残る）確率は$1 - 5/9 = 4/9$です。

• 正確な分数：4/9
• 小数：0.444

(d) 最初に取ったマグカップが赤であるという条件の下で、取られたマグカップの総数の期待値

最初に取ったマグカップが赤であれば、棚には残り8個のマグカップがあります：赤3個、青3個、緑2個です。この残りの8個の多重集合上での停止時刻の期待値を求めます。線形性と条件付き確率により、最初の引きが赤であるという条件付けは初期の集合を減らします。新しい停止規則は残りの8個のマグカップ（赤3、青3、緑2）に適用されます。8個のマグカップに対して同じ裾確率または対称性の論法を適用すると（停止の大きさは8個のマグカップの中の2番目の緑と3番目の青の最小値です）、最初の赤いマグカップの後に追加で取られるマグカップの個数の期待値は$13/4 = 3.25$です。最初の赤いマグカップ1個を加えると$1 + 13/4 = 17/4$になります。

• 正確な分数：17/4
• 小数：4.250

答え：(a) 2/5 (0.400) (b) 19/5 (3.800) (c) 4/9 (0.444) (d) 17/4 (4.250)