Questões educacionais

Os quatro valores são exatos, corretos, na forma irredutível e coincidem com o gabarito.

A redução para a ordem das não vermelhas e a afirmação de independência são sólidas. O argumento das 6 lacunas, que dá a cada vermelha uma chance de K/6, é válido. A contagem em (c) está correta. A parte (d) usa explicitamente as 3 vermelhas restantes com K/6 cada, e não apenas soma 1. A independência das posições vermelhas em relação à ordem das não vermelhas é afirmada e não justificada brevemente, uma lacuna menor.

Todas as partes são respondidas com justificativas, e a distribuição de K, incluindo por que K=5 é impossível, é abordada.

Bem organizada, com títulos e passos concisos. A notação T versus K é clara. A formatação está um pouco carregada.

Cada parte apresenta a fração e um decimal com 3 casas, cada uma tem uma justificativa, o texto tem 387 palavras (abaixo de 600) e a linha final Answers está na forma exigida.

Os quatro resultados coincidem com o gabarito: 3/5, 35/6, 50/63 e 25/4, com decimais de três casas corretas.

O argumento de ordenação dos não vermelhos e a distribuição de K estão corretos. O método dos intervalos trata corretamente as esperanças, e o argumento de contagem encontra corretamente a probabilidade de que todos os vermelhos já tenham sido retirados. A parte (d) reduz explicitamente a quantidade de vermelhos restantes para três, em vez de simplesmente somar um à esperança não condicionada.

Cada parte solicitada inclui um valor final e uma justificativa suficiente, com a distribuição compartilhada do índice de parada totalmente estabelecida.

A solução está bem organizada, define suas variáveis com clareza e apresenta os cálculos de contagem e de esperança em uma sequência acessível.

Cada resposta inclui uma fração exata reduzida e um decimal de três casas. Cada parte é justificada, o comprimento medido é de 387 palavras e a resposta termina com a linha Answers exigida.

Os quatro valores finais são exatos e corretos: 3/5, 35/6, 50/63 e 25/4, com as equivalências decimais de 3 casas corretas.

O raciocínio é excelente. A formulação usando a distribuição de K entre a sequência não vermelha e as probabilidades de lacunas para as canecas vermelhas é matematicamente rigorosa, elegante e evita a armadilha comum na parte (d).

As quatro partes são totalmente abordadas, cada uma com uma derivação completa e um valor final.

A solução está estruturada de forma lógica, com títulos claros, notação matemática concisa e explicações muito fáceis de acompanhar.

Todas as instruções foram estritamente seguidas: frações em forma irredutível, aproximações decimais com 3 casas, justificativas fornecidas, bem dentro do limite de 600 palavras (387 palavras) e terminando no formato obrigatório de linha única.

Todos os quatro valores (3/5, 35/6, 50/63, 25/4) são exatos, estão na forma irredutível e são corretos, assim como as quantidades intermediárias P(M), E[M]=7/2 e 13/63.

Os argumentos são sólidos. A parte (a) usa a simetria do último entre 5, a (b) enumera M e usa a expectativa de posições M/6, a (c) conta C(M+3,4)/126, e a (d) explica que restam 3 vermelhas, resultando em 3/2·E[M]. Uma pequena lacuna: não justifica explicitamente que, condicionando em M, a colocação das posições vermelhas é uniforme.

Cada parte é respondida e justificada, e os resultados intermediários são mostrados. Nada do que foi exigido está faltando.

A estrutura é clara, com uma seção por parte e cálculos exibidos. O LaTeX e o markdown intensos podem não ser exibidos bem em texto simples, e o argumento das posições está formulado de maneira um pouco lacônica.

Cada resposta é apresentada como uma fração mais um decimal com 3 casas, cada parte é justificada, o comprimento é de 517 palavras (abaixo de 600), e a resposta termina com a linha Answers exigida.

Todos os quatro resultados estão corretos: 3/5, 35/6, 50/63 e 25/4, com decimais de três casas corretos.

O argumento da ordem relativa para (a), a distribuição do índice de parada e a simetria dos slots para (b), a contagem de posicionamentos para (c) e o cálculo condicional das canecas restantes para (d) são válidos e convincentes. A parte (d) considera explicitamente que restam apenas três canecas vermelhas, em vez de simplesmente somar um à esperança incondicional.

Cada parte solicitada inclui uma fração final, um decimal e um argumento de apoio, seguidos por um resumo completo das respostas.

A resposta está claramente organizada por parte, define suas variáveis e torna os cálculos de contagem e de esperança fáceis de acompanhar.

Todos os requisitos da lista de verificação são atendidos: frações reduzidas e decimais de três casas em cada parte, justificativas ao longo do texto, 517 palavras dentro do limite de 600 e a linha final obrigatória de Respostas.

Todas as quatro respostas numéricas estão completamente corretas, tanto como frações exatas na forma irredutível quanto como decimais de 3 casas.

O raciocínio é excepcional em todas as partes. Usa argumentos de simetria elegantes (ordenação relativa das canecas não vermelhas, posições intercambiáveis para as canecas vermelhas) e justifica explicitamente por que condicionar à primeira caneca vermelha altera a contagem de vermelhas restantes na parte (d).

Cada parte solicitada, de (a) a (d), é totalmente abordada, com deduções completas e valores finais.

A apresentação é limpa, concisa e fácil de acompanhar, com notação matemática bem estruturada.

Todas as instruções e restrições são respeitadas: a contagem de palavras está bem abaixo de 600, frações e decimais estão formatados corretamente, as justificativas estão incluídas e o formato exato exigido para a linha final foi usado.

(a) 3/5, (b) 35/6, (c) 50/63 e (d) 25/4 correspondem à chave. A resposta evita a armadilha de 41/6 em (d).

A distribuição de K é justificada por meio da enumeração dos prefixos de parada. O argumento da expectativa das seis lacunas chega limpo a 10k/6, e a independência das posições em relação à ordem das cores é declarada. Em (c), a condição sobre K é usada corretamente e chega-se a C(k+3,4)/126. Em (d), a explicação de que restam apenas 3 vermelhos leva às lacunas de 3/6. A redação em (c) sobre a próxima caneca causar a parada é um pouco seca.

As quatro partes são respondidas, cada uma com uma justificativa, e a linha de resumo final está incluída. Nada exigido está faltando.

Bem organizado, com cabeçalhos e resultados destacados em caixas, e a lógica é fácil de acompanhar. O LaTeX intenso pode não ser exibido bem como texto simples, e algumas etapas estão compactadas.

Cada parte apresenta uma fração exata mais um decimal com 3 casas. Com 302 palavras, fica bem abaixo do limite de 600 palavras, e termina com a linha de Respostas exigida. Usar ponto e vírgula como separadores nessa linha é aceitável.

Todos os quatro resultados estão corretos: 3/5, 35/6, 50/63 e 25/4. Cada fração está em forma irredutível e cada decimal está corretamente arredondado para três casas.

A distribuição de parada para canecas não vermelhas está corretamente justificada. A simetria estabelece (a), os intervalos intercambiáveis estabelecem (b), o condicionamento e a contagem estabelecem (c), e (d) ajusta corretamente as expectativas dos intervalos após remover a primeira caneca vermelha.

Cada parte solicitada inclui uma justificativa completa e as duas formas numéricas exigidas. A parte (d) conta explicitamente a caneca vermelha inicial.

A notação é definida com clareza, a distribuição de parada compartilhada evita repetição, e seções separadas e rotuladas tornam os argumentos fáceis de acompanhar.

Atende a todos os itens da lista de verificação: frações reduzidas e decimais com três casas, uma justificativa para cada parte, 302 palavras dentro do limite de 600 e a linha final obrigatória de Respostas.

Todos os valores são exatos, totalmente reduzidos e corretamente convertidos para decimais com três casas, e correspondem exatamente ao gabarito: (a) 3/5 = 0,600, (b) 35/6 = 5,833, (c) 50/63 = 0,794 e (d) 25/4 = 6,250.

O raciocínio é excelente. O modelo isola elegantemente a ordem das canecas não vermelhas, determina a distribuição das canecas não vermelhas retiradas até a parada, usa o espaçamento das canecas vermelhas entre as não vermelhas por meio de argumentos de intercambialidade/lacunas, configura corretamente o condicionamento hipergeométrico em (c) e atualiza explicitamente a contagem de canecas vermelhas restantes em (d), evitando a armadilha comum.

Cada subpergunta solicitada, de (a) a (d), é respondida por completo, com a fração exata e a forma decimal, junto com uma justificativa completa.

A solução é excepcionalmente bem estruturada, concisa e fácil de ler, com notação matemática limpa em todo o texto.

Todas as instruções foram seguidas: bem abaixo do limite de 600 palavras (302 palavras), frações exatas em forma irredutível mais as formas arredondadas com três decimais, e a resposta termina com o resumo de uma linha especificado, 'Answers:'.

(a) 3/5, (b) 35/6, (c) 50/63 e (d) 25/4 coincidem com a chave. Conferi por amostragem as probabilidades de sobrevivência listadas (35/36, 19/21, 1/6, 27/28) e as somas (1470/252, 294/56), e estão corretas. A contagem de 260 ordens favoráveis também é consistente.

(a) apresenta um argumento convincente de simetria sobre o último de cinco, e (c) apresenta uma fórmula correta de contagem por prefixo/sufixo. No entanto, (b) e (d) apenas afirmam listas de valores de P(T>n) 'por contagem' sem mostrar como nenhum deles é obtido. Em (d), diz-se que a primeira caneca vermelha não pode interromper o processo e trabalha-se com as 8 canecas restantes, mas nunca se observa explicitamente que elas contêm 3 vermelhas, 3 azuis e 2 verdes. Isso fica aquém do patamar de 9 ou mais.

As quatro partes são respondidas, cada uma com alguma justificativa e com formas exata e decimal. As derivações das probabilidades intermediárias em (b) e (d) foram omitidas.

A resposta é bem organizada e concisa, com estrutura clara em cada parte. As listas de probabilidades de sobrevivência são difíceis de verificar para o leitor sem a derivação, e a condição de (c) está formulada de maneira um tanto densa.

Cada parte apresenta uma fração em forma reduzida e um decimal com três casas. Cada parte tem uma justificativa, a resposta tem 242 palavras (bem abaixo de 600) e termina com uma linha de Respostas formatada corretamente.

Todos os quatro valores exatos correspondem ao gabarito, e todos os decimais estão corretamente arredondados. A esperança condicional em (d) recalcula corretamente o processo com oito canecas restantes, em vez de somar um à esperança incondicional.

O argumento de simetria em (a) e a contagem explícita da ordem de cores em (c) são sólidos. O método da soma das sobrevivências em (b) e (d) também é válido, mas as probabilidades de sobrevivência listadas não são derivadas explicitamente; uma fórmula de contagem ou um cálculo de exemplo tornaria esses argumentos mais transparentes.

Cada parte solicitada inclui uma fração exata, um decimal e uma justificativa. A parte (d) inclui o primeiro sorteio vermelho no total.

A resposta é concisa, bem organizada e fácil de acompanhar. A especificação da contagem de prefixos e sufixos é clara, embora as listas de probabilidades de sobrevivência estejam um tanto compactadas.

Todas as frações estão na forma irredutível, todos os decimais têm três casas, cada parte está justificada, o comprimento medido é inferior a 600 palavras, e a resposta termina com a linha Answers exigida.

Todos os quatro valores finais estão perfeitamente corretos e são apresentados tanto na fração exata reduzida quanto na forma decimal com 3 casas.

O raciocínio é matematicamente sólido e elegante em todas as partes: usa simetria na (a), fórmulas de soma de cauda na (b) e (d), e contagem complementar de permutações na (c). A parte (d) reconhece corretamente que, ao condicionar em uma caneca vermelha, restam 8 canecas (3 vermelhas, 3 azuis, 2 verdes) e recalcula adequadamente o número esperado de sorteios restantes.

Cada subparte (a)-(d) é totalmente abordada, com justificativas completas e todas as representações numéricas solicitadas.

As explicações são excepcionalmente bem estruturadas, fáceis de acompanhar e matematicamente concisas.

Todas as instruções foram seguidas sem falhas, incluindo as restrições exatas de limite de palavras e o formato exigido da linha final de resumo.

(a) 3/5, (b) 35/6 e (d) 25/4 coincidem com o gabarito. (c) é dada como 4/7 (0,571), mas o valor correto é 50/63 (0,794). Uma parte errada limita este critério a 7.

Os argumentos de simetria para (a) e (b) são sólidos, e a dedução da distribuição de K é cuidadosa. Em (d), explica-se corretamente que restam 3 vermelhas em 8 posições, resultando em espaçamento 9/6, e não apenas somando 1. Em (c) há um erro de deslocamento: a parada ocorre na K-ésima caneca especial, então as 4 vermelhas devem estar nas primeiras K+3 posições, não K+4. Sua afirmação sobre 'as últimas 5−K canecas' é, portanto, inválida.

Todas as quatro partes são abordadas, cada uma com uma justificativa e um valor final. Nada do que foi pedido está faltando.

A resposta é bem organizada, com uma ideia-chave enunciada e divisões de casos claras. A frase que diz que a última caneca não vermelha é 'retirada após a parada' é um pouco estranha, já que ela nunca é realmente retirada.

Cada parte apresenta uma fração exata na forma irredutível e um decimal com 3 casas. Cada parte tem uma justificativa, o texto tem 399 palavras (abaixo de 600) e a resposta termina com a linha Answers obrigatória.

As partes (a), (b) e (d) coincidem exatamente com o gabarito. A parte (c) apresenta 4/7 em vez do valor correto 50/63 = 0,794. Aplica-se o limite de um valor final incorreto.

O argumento de simetria, a enumeração do índice de parada e o método da posição esperada são sólidos. A parte (d) considera corretamente as três vermelhas restantes. Em (c), colocar todas as vermelhas nas primeiras K+4 posições não garante que elas tenham sido sorteadas até a K-ésima caneca não vermelha; o limite necessário é K+3.

Todas as quatro partes são abordadas com argumentos, frações exatas, decimais e uma linha de resposta final. Nada é omitido, embora a solução de (c) esteja substancialmente incorreta.

A organização parte por parte e a enumeração explícita tornam a solução fácil de acompanhar. A notação distingue o índice de parada, correspondente às canecas não vermelhas, do número total de sorteios, e o cálculo condicional em (d) é especialmente claro.

Atende a todos os requisitos de formatação: frações reduzidas e decimais com três casas para cada parte, uma justificativa para cada uma, 399 palavras dentro do limite de 600 e a linha final obrigatória de Respostas. Uma nota 9 ou superior não é possível porque nem todos os quatro valores estão corretos.

As partes (a), (b) e (d) estão completamente corretas. A parte (c) tem uma resposta final incorreta (4/7 ≈ 0,571 em vez de 50/63 ≈ 0,794). De acordo com a política, a correção é limitada a 7,0 por causa de um valor errado.

Os argumentos de simetria e espaçamento para (a), (b) e (d) são perspicazes, bem explicados e matematicamente corretos. Em (c), o raciocínio permite erroneamente que as 4 vermelhas sejam colocadas em qualquer lugar nas primeiras 4+K posições, em vez de exigir que todas as 4 vermelhas precedam a caneca específica de K-ésima parada não vermelha, o que causa um erro de contagem de uma unidade.

Cada subpergunta (a)-(d) é tratada detalhadamente, com derivação e ambos os formatos numéricos solicitados.

A redação é excepcionalmente bem estruturada, fácil de acompanhar e transparente em seus passos e notação.

Todas as instruções foram seguidas perfeitamente: frações exatas em forma reduzida, decimais arredondados para 3 casas, menos de 600 palavras (399 palavras) e terminou com o formato exato exigido 'Answers:'.

Os quatro valores discordam do gabarito: (a) 2/5 vs. 3/5, (b) 19/5 vs. 35/6, (c) 4/9 vs. 50/63, (d) 17/4 vs. 25/4. Com dois ou mais erros o teto é 4, mas aqui nenhum está certo, então a nota é próxima de zero.

Em (a), a ideia de simetria está meio certa, mas conclui a cor errada: parar em verdes significa que a última das cinco é azul. Em (b), um erro em P(N≥2)=11/9 permanece no texto, e 19/5 é afirmado sem cálculo. (c) usa um argumento inválido sobre a última caneca ser a caneca de parada. (d) afirma 13/4 sem nenhuma derivação.

As quatro partes são abordadas com uma fração e um decimal, mas as justificativas de (b) e (d) estão essencialmente ausentes ou abandonadas no meio do caminho.

As seções estão organizadas, mas (b) contém uma autocorreção visível, "Wait", e uma abordagem abandonada. O texto é prolixo e confuso em alguns trechos.

Frações em forma reduzida, decimais com 3 casas e uma linha final de Answers estão presentes. No entanto, com 853 palavras, ultrapassa em mais de 10% o limite de 600 palavras, custando pelo menos 2 pontos, e a exigência de justificativa está efetivamente não cumprida para (b) e (d).

Nenhum dos quatro valores finais corresponde ao gabarito: as respostas corretas são 3/5, 35/6, 50/63 e 25/4. Crédito limitado é justificado por expressar corretamente o tempo de parada como min(X2, Y3) e por identificar a composição remanescente após o primeiro sorteio de vermelha.

Em (a), uma caneca azul por último entre as cinco canecas não vermelhas significa que as verdes terminam primeiro, mas o argumento inverte isso. Em (b), a estrutura de soma de caudas é válida, mas a probabilidade exibida excede 1, o comprimento máximo de parada declarado está errado e a esperança final não é justificada. Em (c), esgotar as vermelhas não exige parar na nona caneca; de fato, a parada não pode ocorrer tão tarde. Em (d), a composição remanescente está corretamente ajustada, mas a esperança adicional é afirmada sem cálculo e está errada.

As quatro partes solicitadas são abordadas explicitamente, cada uma com uma fração e um decimal, e o resumo final inclui todas as respostas. No entanto, os cálculos de esperança em (b) e (d) não são de fato concluídos nem demonstrados.

Os títulos e os itens de resposta final de cada parte tornam a resposta fácil de navegar. No entanto, a correção "Wait" não resolvida, o marcador provisório "max(5,?)" e a mudança abrupta para um cálculo de distribuição inacabado tornam (b) especialmente confusa. Várias afirmações confiantes contradizem a regra de parada.

A resposta apresenta frações em forma reduzida e decimais com três casas para todas as partes, tenta um argumento para cada uma e termina com a linha de Respostas exigida. Seu comprimento medido é de 853 palavras, excedendo o limite de 600 palavras em mais de 10%, o que justifica uma dedução de dois pontos.

Todos os quatro valores finais estão incorretos: (a) é 2/5 em vez de 3/5; (b) é 19/5 em vez de 35/6; (c) é 4/9 em vez de 50/63; e (d) é 17/4 em vez de 25/4. Pela política de avaliação, ter dois ou mais valores errados limita a correção a 4.0; sem nenhuma resposta correta, justifica-se uma nota muito baixa.

O raciocínio é falho do início ao fim. Na parte (a), o argumento de simetria está invertido (se a última caneca entre as 5 for verde, as 3 azuis foram retiradas antes, o que significa que a parada ocorreu no azul). Na parte (b), a resposta começa a escrever probabilidades de cauda, encontra uma inconsistência no meio da derivação e afirma abruptamente uma soma incorreta sem derivação válida. Na parte (c), assume uma simetria falaciosa de que a parada ocorre na 9ª caneca com probabilidade 5/9. Na parte (d), o índice esperado de parada é calculado incorretamente.

A resposta tenta as quatro partes e fornece frações e decimais, junto com explicações, mas as derivações ficam quebradas ou abandonadas no meio do caminho.

As explicações estão bem formatadas, com títulos e texto legível, mas a apresentação fica confusa na parte (b), quando o autor interrompe o próprio trabalho ('Wait, N >= 2 means...').

A resposta fornece as frações exatas, os decimais, as justificativas e a linha final de Respostas. No entanto, viola gravemente o limite de tamanho, chegando a 853 palavras contra o máximo de 600 (mais de 40% acima), o que justifica uma dedução.