積が多項式でない理由の解析

生徒の主張には、微妙ながらも重要な誤りがあります。注意深く見ていきましょう。 **1. x ≠ 1 における g(x) の単純化** x ≠ 1 の場合、最初の分数で (x − 1) の因子をキャンセルできます。 (x² − 1)/(x − 1) = (x − 1)(x + 1)/(x − 1) = x + 1。 したがって、x ≠ 1 の場合、 g(x) = (x + 1)·|x − 1|。 |x − 1| の定義を使用して、これを場合分けできます。 • x > 1 の場合: g(x) = (x + 1)(x − 1) = x² − 1。 • x < 1 の場合: g(x) = (x + 1)(−(x − 1)) = −(x + 1)(x − 1) = 1 − x²。 • x = 1 の場合: (x² − 1)/(x − 1) がそこで 0/0 となるため、元の式では g(x) は定義されていません。 **2. g は ℝ 全体で多項式に拡張できますか？** いいえ。たとえ g(1) = (1 + 1)·|1 − 1| = 0 と定義して、除去可能な穴を埋めたとしても、拡張された関数は g(x) = { x² − 1, if x ≥ 1; 1 − x², if x ≤ 1。 } これは多項式ではありません。ここに明確な議論を示します。矛盾を仮定して、ある多項式 p(x) がすべての実数 x に対して p(x) = g(x) を満たすとします。すると、区間 (1, ∞) では p(x) = x² − 1 となり、(−∞, 1) では p(x) = 1 − x² となります。しかし、区間（実際には無限集合であればどこでも）で一致する 2 つの多項式は同一でなければなりません。したがって、p(x) はどこでも x² − 1 と等しく、かつどこでも 1 − x² と等しくなければなりません。これら 2 つの多項式は同じではありません（例えば x = 0 で異なります）、これは矛盾です。したがって、単一の多項式が ℝ 全体で g を表すことはできません。 同等に言えば、すべての多項式は無限回微分可能であり、特に連続した 2 階微分を持ちます。パート 3 で g が x = 1 で微分可能でさえないことを見ますが、したがってそこで多項式と一致することはできません。 **3. x = 1 における微分可能性** まず、g(1) = 0 と設定して g を連続的に拡張します（両側極限は 0 となり、g は 1 で連続です）。次に、定義を使用して片側微分を調べます。 g′(1) = lim_{h→0} [g(1 + h) − g(1)]/h = lim_{h→0} g(1 + h)/h。 右側微分（h > 0、したがって 1 + h > 1、g(x) = x² − 1 を使用）: g(1 + h) = (1 + h)² − 1 = 2h + h²。 [g(1 + h)]/h = 2 + h → 2 as h → 0⁺。 左側微分（h < 0、したがって 1 + h < 1、g(x) = 1 − x² を使用）: g(1 + h) = 1 − (1 + h)² = −2h − h²。 [g(1 + h)]/h = −2 − h → −2 as h → 0⁻。 両側の極限が 2 と −2 であり、等しくないため、g′(1) は存在しません。g のグラフは x = 1 で角を持ちます。したがって、g は x = 1 で微分可能ではありません。 すべての多項式はどこでも微分可能であるため、これは g が多項式ではありえないという第二の独立した証明となります。 **4. 概念的な誤り** 生徒は 2 つの異なる命題を混同しました。 (a) 2 つの関数が集合 S（ここでは S = ℝ {1}）上で同じ値を持つ。 (b) 2 つの関数が関数として等しい（つまり、同じ定義域を持ち、すべての場所で同じ値を持つ）。 (x² − 1)/(x − 1) と x + 1 が ℝ {1} 上で一致することは真実ですが、それらは同じ関数ではありません。最初の関数は x = 1 で未定義ですが、2 番目の関数はそこで定義されています。|x − 1| を掛けると、結果の関数 g(x) = ((x² − 1)/(x − 1))·|x − 1| も x = 1 で未定義であり、穴を埋めた後でさえ、絶対値を含む (x + 1)|x − 1| に等しくなります。絶対値は多項式演算ではありません。|x − 1| は x = 1 で角を持ち、それを多項式 x + 1（そこではゼロではない）で掛けると、その角が維持されます。多項式は角を持つことができないため、g は多項式ではありません。 要するに、「制限された定義域での『単純化』は、全体での『等しい』と同じではありません。また、|x − 1| を含む積は、絶対値が偶然「隠れて」キャンセルされた因子の中にあったとしても、通常は多項式性を壊します。

関数 $g(x) = rac{x^2 - 1}{x - 1} imes |x - 1|$ を分析します。 1. **x ≠ 1 における g(x) の単純化:** x ≠ 1 の場合、$x^2 - 1 = (x - 1)(x + 1)$ であることがわかっています。したがって、$rac{x^2 - 1}{x - 1} = x + 1$ です。 これを $g(x)$ の式に代入すると、次のようになります。 $g(x) = (x + 1) imes |x - 1|$ （x ≠ 1 の場合）。 2. **すべての実数における多項式への g(x) の拡張:** 多項式とは、$a_i$ が定数で、$n$ が非負整数であるような $P(x) = a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + ext{…} + a_1 x + a_0$ の形式で表される関数です。多項式はすべての実数に対して定義され、連続です。 関数 $g(x) = (x + 1)|x - 1|$ には絶対値関数 $|x - 1|$ が含まれています。絶対値関数は、x = 1 で尖った角を持つため、多項式ではありません。具体的には、x ≧ 1 の場合、$|x - 1| = x - 1$ なので、$g(x) = (x + 1)(x - 1) = x^2 - 1$ です。x < 1 の場合、$|x - 1| = -(x - 1)$ なので、$g(x) = (x + 1)(-(x - 1)) = -(x^2 - 1) = -x^2 + 1$ です。 $g(x)$ の定義は $(x - 1)$ の符号に基づいて変化し、絶対値が含まれているため、すべての実数に対して単一の多項式で表すことはできません。したがって、$g(x)$ をすべての実数における多項式に拡張することはできません。 3. **x = 1 における g(x) の微分可能性:** $g(x)$ が x = 1 で微分可能かどうかを判断するには、微分の極限定義を調べる必要があります。 $g'(1) = rac{h o 0}{ ext{lim}} rac{g(1 + h) - g(1)}{h}$。 まず、$g(1)$ を求めます。$g(x)$ の元の式は x=1 で定義されていませんが、x → 1 の極限を考えます。パート1で示したように、x ≠ 1 の場合、$g(x) = (x+1)|x-1|$ です。x → 1 の極限は $(1+1)|1-1| = 2 imes 0 = 0$ です。したがって、関数を連続にするために $g(1)=0$ と定義する場合、微分計算を進めます。 差分の商の極限を評価します。 h > 0 の場合、$1 + h > 1$ なので、$|1 + h - 1| = |h| = h$ です。したがって、$g(1 + h) = (1 + h + 1)|1 + h - 1| = (2 + h)h = 2h + h^2$ です。 h < 0 の場合、$1 + h < 1$ なので、$|1 + h - 1| = |-h| = -h$ です。したがって、$g(1 + h) = (1 + h + 1)|1 + h - 1| = (2 + h)(-h) = -2h - h^2$ です。 次に、差分の商の左側極限と右側極限を調べます。 右側微分 (h → 0⁺): $rac{h o 0^+}{ ext{lim}} rac{(2h + h^2) - 0}{h} = rac{h o 0^+}{ ext{lim}} rac{h(2 + h)}{h} = rac{h o 0^+}{ ext{lim}} (2 + h) = 2$。 左側微分 (h → 0⁻): $rac{h o 0^-}{ ext{lim}} rac{(-2h - h^2) - 0}{h} = rac{h o 0^-}{ ext{lim}} rac{h(-2 - h)}{h} = rac{h o 0^-}{ ext{lim}} (-2 - h) = -2$。 左側微分 (-2) と右側微分 (2) が等しくないため、$g(x)$ は x = 1 で微分可能ではありません。 4. **学生の推論における概念的な誤り:** 学生の誤りは、ある x の値に対して関数が多項式に単純化できるという理由だけで、その関数がどこでも多項式であると仮定している点にあります。$rac{x^2 - 1}{x - 1} = x + 1$ という単純化は、x ≠ 1 の場合にのみ有効です。関数 $g(x)$ には $|x - 1|$ という項が含まれており、これは x = 1 で多項式ではない挙動（尖った角）をもたらします。関数がすべての実数に対して単一の多項式式で表される場合にのみ、多項式とみなされます。x=1 の両側で異なる代数的形式を持つ区分的な定義を作成する絶対値関数の存在により、$g(x)$ は多項式になりません。