数列が収束する理由を説明し、その極限を求めよ

1. 全ての項が正であることを証明: 帰納法を用いて証明できます。 基底ケース：a1 = 1であり、これは正です。 帰納的ステップ：ある整数k >= 1に対してakが正であると仮定します。ak+1も正であることを示す必要があります。 ak+1 = (ak + 2/ak) / 2。ak > 0なので、2/ak > 0です。2つの正の数の和（akと2/ak）は正です。正の数を2で割ると正の数になります。したがって、ak+1 > 0です。 帰納法により、数列の全ての項は正です。 2. 最初の項以降の数列が減少することの証明: n >= 1に対してan+1 <= anであることを示す必要があります。 an+1 - an = (an + 2/an) / 2 - an = (an + 2/an - 2an) / 2 = (2/an - an) / 2 = (2 - an^2) / (2an)。 数列が減少するためには、an+1 - an <= 0である必要があります。これは、(2 - an^2) / (2an) <= 0を意味します。 全ての項が正であること（an > 0）を既に証明しているので、分母2anは正です。したがって、分子が非正である必要があります：2 - an^2 <= 0、これはan^2 >= 2を意味します。 n >= 2に対してan^2 >= 2であるかどうかを確認しましょう。 n=1の場合、a1 = 1、a1^2 = 1であり、2以上ではありません。したがって、数列は最初の項から減少していません。 n=2の場合、a2 = (a1 + 2/a1) / 2 = (1 + 2/1) / 2 = 3/2。a2^2 = (3/2)^2 = 9/4 = 2.25であり、2以上です。 ここで、n >= 2に対してan^2 >= 2であることを帰納法で証明しましょう。 基底ケース：a2^2 = 9/4 >= 2であることを示しました。 帰納的ステップ：ある整数k >= 2に対してak^2 >= 2であると仮定します。ak+1^2 >= 2であることを示す必要があります。 ak+1 = (ak + 2/ak) / 2。 ak+1^2 = ((ak + 2/ak) / 2)^2 = (ak^2 + 4 + 4/ak^2) / 4。 ak^2 >= 2なので、1/ak^2 <= 1/2です。 したがって、ak+1^2 = (ak^2 + 4 + 4/ak^2) / 4 >= (2 + 4 + 4(0)) / 4 = 6/4 = 1.5。これは十分ではありません。 n >= 2に対してan^2 >= 2であるための帰納的ステップに別の方法を使用しましょう。 ak+1 = (ak + 2/ak) / 2であることを知っています。 ak+1^2 - 2 = ((ak + 2/ak) / 2)^2 - 2 = (ak^2 + 4 + 4/ak^2) / 4 - 2 = (ak^2 + 4 + 4/ak^2 - 8) / 4 = (ak^2 - 4 + 4/ak^2) / 4 = (ak - 2/ak)^2 / 4。 (ak - 2/ak)^2は平方なので、常に非負です。したがって、ak+1^2 - 2 >= 0、これはak+1^2 >= 2を意味します。 したがって、n >= 2に対してan^2 >= 2であり、これはan+1 - an <= 0を意味します。数列は最初の項以降減少します。 3. 数列が下に有界であることの証明: パート1から、数列の全ての項が正であることを証明しました。したがって、数列は0で下に有界です。 さらに、パート2から、n >= 2に対してan^2 >= 2であることを示しました。これは、n >= 2に対してan >= sqrt(2)を意味します。したがって、数列はn >= 2に対してsqrt(2)で下に有界です。 4. 数列が収束することの推論: パート2から、数列はn >= 2に対して減少することを示しました。パート3から、数列は下に有界であること（n >= 2に対してsqrt(2)で）を示しました。単調収束定理によれば、単調（この場合は減少）かつ下に有界である数列は有限の極限に収束します。 5. 極限値の特定と正当化: Lを数列の極限とします。数列が収束するので、漸化式の両辺の極限をとることができます。 lim (an+1) = lim ((an + 2/an) / 2) nが無限大に近づくにつれて、an+1はLに近づき、anはLに近づきます。 したがって、L = (L + 2/L) / 2。 ここで、Lについて解きます。 2L = L + 2/L L = 2/L L^2 = 2 L = ±sqrt(2)。 数列の全ての項が正であることを証明した（パート1）ので、極限値も正でなければなりません。したがって、L = sqrt(2)です。 正当化：極限値はsqrt(2)です。なぜなら、数列は減少することが証明されており、n >= 2に対してsqrt(2)で下に有界であり、漸化式の極限はL = (L + 2/L) / 2を満たす必要があり、これは正の解としてL = sqrt(2)を導き出すからです。

a₁ = 1, aₙ₊₁ = (aₙ + 2/aₙ)/2 （n ≥ 1）で定義される数列を考えます。 パート1：全ての項は正である。 帰納法で証明します。基底ケースは明らかです：a₁ = 1 > 0。ここで、あるn ≥ 1に対してaₙ > 0であると仮定します。すると、2/aₙ > 0となり、aₙ + 2/aₙ > 0となるため、aₙ₊₁ = (aₙ + 2/aₙ)/2 > 0となります。したがって、帰納法により、全てのn ≥ 1に対してaₙ > 0です。 パート2：数列は最初の項以降で減少する（すなわち、全てのn ≥ 2に対してaₙ₊₁ ≤ aₙであり、より正確には、aₙ = √2の場合を除き、全てのn ≥ 1に対してaₙ₊₁ ≤ aₙである）。 aₙ - aₙ₊₁を計算します。 aₙ - aₙ₊₁ = aₙ - (aₙ + 2/aₙ)/2 = aₙ/2 - 1/aₙ = (aₙ² - 2)/(2aₙ)。 aₙ > 0であるため、aₙ - aₙ₊₁の符号はaₙ² - 2の符号と同じになります。 まず、全てのn ≥ 2に対してaₙ² ≥ 2であることを示します（これにより、n = 2以降で数列は非増加となり、aₙ = √2の場合のみ厳密に減少します）。 （両方とも正である）aₙと2/aₙに相加平均・相乗平均の不等式を適用すると： aₙ₊₁ = (aₙ + 2/aₙ)/2 ≥ √(aₙ · 2/aₙ) = √2。 したがって、全てのn ≥ 1に対してaₙ₊₁ ≥ √2となり、これは全てのn ≥ 2に対してaₙ ≥ √2であることを意味します。 よって、n ≥ 2に対しては、aₙ² ≥ 2となるため、aₙ - aₙ₊₁ = (aₙ² - 2)/(2aₙ) ≥ 0、すなわちaₙ₊₁ ≤ aₙとなります。 したがって、数列はn ≥ 2で（非厳密に）減少します。（実際にはaₙ = √2の場合のみ厳密に減少しますが、非厳密で十分です。） 注：a₁ = 1 < √2であるため、a₂ = (1 + 2)/2 = 3/2 > a₁となり、数列はn=1からn=2にかけて増加しますが、n=2以降は減少します。 パート3：数列は下に有界である。 パート2では、相加平均・相乗平均の不等式により、全てのn ≥ 2に対してaₙ ≥ √2であることを確立しました。a₁ = 1 > 0と合わせると、全ての項はaₙ > 0を満たします。より有用なことに、部分列（aₙ）ₙ≥₂は√2 > 0によって下に有界です。 したがって、部分列（aₙ）ₙ≥₂は√2によって下に有界です。 パート4：数列は収束する。 部分列（aₙ）ₙ≥₂は単調減少（パート2より）であり、√2によって下に有界（パート3より）です。単調有界数列の収束定理（実数の単調有界数列は収束する）により、数列（aₙ）ₙ≥₂は収束します。数列（aₙ）ₙ≥₁は、単一の項a₁を除いて（aₙ）ₙ≥₂と異なるだけなので、数列全体（aₙ）も同じ極限に収束します。 パート5：極限を求める。 L = lim_{n→∞} aₙとします。数列が収束するため、漸化式の両辺の極限を取ることができます。 aₙ₊₁ = (aₙ + 2/aₙ)/2。 n → ∞とし、右辺の連続性（L > 0であるため有効）を使用すると： L = (L + 2/L)/2。 両辺に2Lを掛けると： 2L² = L² + 2 L² = 2 L = ±√2。 全てのn ≥ 2に対してaₙ ≥ √2 > 0であるため、極限はL ≥ √2 > 0を満たす必要があり、L = -√2は除外します。 したがって、lim_{n→∞} aₙ = √2。 要約：数列は帰納法によりwell-definedで正であることが示されます。n=2以降では、√2によって下に有界（相加平均・相乗平均の不等式より）であり、減少します（n ≥ 2に対してaₙ² ≥ 2であるため）。単調収束定理により収束が保証され、不動点方程式を解くことで極限√2が得られます。この数列は、f(x) = x² - 2にニュートン法を適用して、2の正の平方根に収束するものです。