Erklären Sie, warum die Folge konvergiert, und bestimmen Sie ihren Grenzwert

1. Beweis, dass jeder Term der Folge positiv ist: Wir können dies durch Induktion beweisen. Basisschritt: a1 = 1, was positiv ist. Induktionsschritt: Angenommen, ak ist für eine ganze Zahl k >= 1 positiv. Wir müssen zeigen, dass ak+1 ebenfalls positiv ist. ak+1 = (ak + 2/ak) / 2. Da ak > 0, ist 2/ak > 0. Die Summe zweier positiver Zahlen (ak und 2/ak) ist positiv. Das Teilen einer positiven Zahl durch 2 ergibt eine positive Zahl. Daher ist ak+1 > 0. Nach Induktion ist jeder Term der Folge positiv. 2. Beweis, dass die Folge nach dem ersten Term abnimmt: Wir müssen zeigen, dass an+1 <= an für n >= 1. an+1 - an = (an + 2/an) / 2 - an = (an + 2/an - 2an) / 2 = (2/an - an) / 2 = (2 - an^2) / (2an). Damit die Folge abnimmt, benötigen wir an+1 - an <= 0, was bedeutet, dass (2 - an^2) / (2an) <= 0. Da wir bereits bewiesen haben, dass alle Terme positiv sind (an > 0), ist der Nenner 2an positiv. Daher benötigen wir, dass der Zähler nicht-positiv ist: 2 - an^2 <= 0, was an^2 >= 2 impliziert. Prüfen wir, ob an^2 >= 2 für n >= 2 gilt. Für n=1 ist a1 = 1, a1^2 = 1, was nicht >= 2 ist. Die Folge nimmt also nicht vom ersten Term an ab. Für n=2 ist a2 = (a1 + 2/a1) / 2 = (1 + 2/1) / 2 = 3/2. a2^2 = (3/2)^2 = 9/4 = 2,25, was >= 2 ist. Nun beweisen wir durch Induktion, dass an^2 >= 2 für n >= 2 gilt. Basisschritt: Wir haben gezeigt, dass a2^2 = 9/4 >= 2. Induktionsschritt: Angenommen, ak^2 >= 2 für eine ganze Zahl k >= 2. Wir müssen zeigen, dass ak+1^2 >= 2. ak+1 = (ak + 2/ak) / 2. ak+1^2 = ((ak + 2/ak) / 2)^2 = (ak^2 + 4 + 4/ak^2) / 4. Da ak^2 >= 2, ist 1/ak^2 <= 1/2. Also ist ak+1^2 = (ak^2 + 4 + 4/ak^2) / 4 >= (2 + 4 + 4(0)) / 4 = 6/4 = 1,5. Das ist nicht ausreichend. Verwenden wir einen anderen Ansatz für den Induktionsschritt für an^2 >= 2 für n >= 2. Wir wissen, dass ak+1 = (ak + 2/ak) / 2. Betrachten wir ak+1^2 - 2 = ((ak + 2/ak) / 2)^2 - 2 = (ak^2 + 4 + 4/ak^2) / 4 - 2 = (ak^2 + 4 + 4/ak^2 - 8) / 4 = (ak^2 - 4 + 4/ak^2) / 4 = (ak - 2/ak)^2 / 4. Da (ak - 2/ak)^2 ein Quadrat ist, ist es immer nicht-negativ. Somit ist ak+1^2 - 2 >= 0, was bedeutet, dass ak+1^2 >= 2. Daher gilt für n >= 2, dass an^2 >= 2, was impliziert, dass an+1 - an <= 0. Die Folge nimmt nach dem ersten Term ab. 3. Beweis, dass die Folge nach unten beschränkt ist: Aus Teil 1 haben wir bewiesen, dass jeder Term der Folge positiv ist. Somit ist die Folge nach unten durch 0 beschränkt. Darüber hinaus haben wir in Teil 2 gezeigt, dass für n >= 2 gilt, dass an^2 >= 2, was impliziert, dass an >= sqrt(2) für n >= 2. Daher ist die Folge für n >= 2 nach unten durch sqrt(2) beschränkt. 4. Schlussfolgerung, dass die Folge konvergiert: Aus Teil 2 haben wir gezeigt, dass die Folge für n >= 2 abnimmt. Aus Teil 3 haben wir gezeigt, dass die Folge nach unten beschränkt ist (durch sqrt(2) für n >= 2). Gemäß dem Satz von der monotonen Konvergenz konvergiert eine Folge, die sowohl monoton (in diesem Fall abnehmend) als auch nach unten beschränkt ist, gegen einen endlichen Grenzwert. 5. Ermittlung des Grenzwerts und Begründung: Sei L der Grenzwert der Folge. Da die Folge konvergiert, können wir den Grenzwert beider Seiten der Rekursionsgleichung bilden: lim (an+1) = lim ((an + 2/an) / 2) Wenn n gegen unendlich geht, nähert sich an+1 L und an nähert sich L. Also L = (L + 2/L) / 2. Nun lösen wir nach L auf: 2L = L + 2/L L = 2/L L^2 = 2 L = ±sqrt(2). Da wir bewiesen haben, dass alle Terme der Folge positiv sind (Teil 1), muss auch der Grenzwert positiv sein. Daher ist L = sqrt(2). Begründung: Der Grenzwert ist sqrt(2), da bewiesen wurde, dass die Folge für n >= 2 abnimmt und nach unten durch sqrt(2) beschränkt ist und der Grenzwert der Rekursionsgleichung L = (L + 2/L) / 2 erfüllen muss, was L = sqrt(2) als einzige positive Lösung ergibt.

Wir analysieren die Folge, die durch a₁ = 1 und aₙ₊₁ = (aₙ + 2/aₙ)/2 für alle n ≥ 1 definiert ist. --- Teil 1: Jeder Term ist positiv. Wir gehen per Induktion vor. Der Basisfall ist klar: a₁ = 1 > 0. Angenommen, aₙ > 0 für ein n ≥ 1. Dann ist 2/aₙ > 0, also aₙ + 2/aₙ > 0, und daher ist aₙ₊₁ = (aₙ + 2/aₙ)/2 > 0. Nach dem Induktionsprinzip ist aₙ > 0 für alle n ≥ 1. --- Teil 2: Die Folge ist nach dem ersten Term fallend (d.h. aₙ₊₁ ≤ aₙ für alle n ≥ 2, und genauer aₙ₊₁ ≤ aₙ für alle n ≥ 1 mit Gleichheit nur, wenn aₙ = √2). Wir berechnen aₙ - aₙ₊₁: aₙ - aₙ₊₁ = aₙ - (aₙ + 2/aₙ)/2 = aₙ/2 - 1/aₙ = (aₙ² - 2)/(2aₙ). Da aₙ > 0, hat aₙ - aₙ₊₁ das gleiche Vorzeichen wie aₙ² - 2. Wir zeigen zuerst, dass aₙ² ≥ 2 für alle n ≥ 2 gilt (damit die Folge ab n = 2 nicht-steigend und streng fallend ist, es sei denn, aₙ = √2). Durch Anwendung der AM-GM-Ungleichung auf aₙ und 2/aₙ (beide positiv): aₙ₊₁ = (aₙ + 2/aₙ)/2 ≥ √(aₙ · 2/aₙ) = √2. Somit ist aₙ₊₁ ≥ √2 für alle n ≥ 1, was bedeutet, dass aₙ ≥ √2 für alle n ≥ 2 ist. Daher ist für n ≥ 2, aₙ² ≥ 2, also aₙ - aₙ₊₁ = (aₙ² - 2)/(2aₙ) ≥ 0, d.h. aₙ₊₁ ≤ aₙ. Somit ist die Folge für n ≥ 2 (nicht-streng) fallend. (Tatsächlich ist sie streng fallend, es sei denn, aₙ = √2 genau, aber nicht-streng reicht für unsere Zwecke aus.) Hinweis: a₁ = 1 < √2, also ist a₂ = (1 + 2)/2 = 3/2 > a₁, was bedeutet, dass die Folge von n=1 nach n=2 ansteigt, aber ab n=2 fallend ist. --- Teil 3: Die Folge ist nach unten beschränkt. Aus Teil 2 haben wir mittels AM-GM gezeigt, dass aₙ ≥ √2 für alle n ≥ 2 gilt. Zusammen mit a₁ = 1 > 0 erfüllt jeder Term aₙ > 0. Nützlicher ist, dass die Teilfolge (aₙ)ₙ≥₂ nach unten durch √2 > 0 beschränkt ist. Somit ist die Folge (aₙ)ₙ≥₂ nach unten durch √2 beschränkt. --- Teil 4: Die Folge konvergiert. Die Teilfolge (aₙ)ₙ≥₂ ist monoton fallend (aus Teil 2) und nach unten durch √2 beschränkt (aus Teil 3). Nach dem Satz von der monotonen Konvergenz (jede monotone beschränkte Folge reeller Zahlen konvergiert) konvergiert die Folge (aₙ)ₙ≥₂. Da sich (aₙ)ₙ≥₁ nur durch den einzelnen Term a₁ von (aₙ)ₙ≥₂ unterscheidet, konvergiert auch die gesamte Folge (aₙ) gegen denselben Grenzwert. --- Teil 5: Bestimmung des Grenzwerts. Sei L = lim_{n→∞} aₙ. Da die Folge konvergiert, können wir Grenzwerte auf beiden Seiten der Rekurrenz bilden: aₙ₊₁ = (aₙ + 2/aₙ)/2. Wenn n → ∞ geht und die Stetigkeit der rechten Seite verwendet wird (gültig, da L > 0): L = (L + 2/L)/2. Multiplikation beider Seiten mit 2L: 2L² = L² + 2 L² = 2 L = ±√2. Da aₙ ≥ √2 > 0 für alle n ≥ 2 gilt, muss der Grenzwert L ≥ √2 > 0 erfüllen, also verwerfen wir L = -√2. Daher ist lim_{n→∞} aₙ = √2. --- Zusammenfassung: Die Folge ist per Induktion wohldefiniert und positiv. Ab n = 2 ist sie nach unten durch √2 (mittels AM-GM) und fallend (da aₙ² ≥ 2 für n ≥ 2) beschränkt. Der Satz von der monotonen Konvergenz garantiert die Konvergenz, und die Lösung der Fixpunktgleichung ergibt den Grenzwert √2. Diese Folge ist genau die Anwendung von Newtons Methode auf f(x) = x² - 2, die gegen die positive Quadratwurzel von 2 konvergiert.