Explique Por Que a Sequência Converge e Encontre o Seu Limite

1. Prova de que todo termo da sequência é positivo: Podemos provar isso por indução. Caso base: a1 = 1, que é positivo. Passo indutivo: Suponha que ak seja positivo para algum inteiro k >= 1. Precisamos mostrar que ak+1 também é positivo. ak+1 = (ak + 2/ak) / 2. Como ak > 0, então 2/ak > 0. A soma de dois números positivos (ak e 2/ak) é positiva. Dividir um número positivo por 2 resulta em um número positivo. Portanto, ak+1 > 0. Por indução, todo termo da sequência é positivo. 2. Prova de que a sequência é decrescente após o primeiro termo: Precisamos mostrar que an+1 <= an para n >= 1. an+1 - an = (an + 2/an) / 2 - an = (an + 2/an - 2an) / 2 = (2/an - an) / 2 = (2 - an^2) / (2an). Para que a sequência seja decrescente, precisamos que an+1 - an <= 0, o que significa (2 - an^2) / (2an) <= 0. Como já provamos que todos os termos são positivos (an > 0), o denominador 2an é positivo. Portanto, precisamos que o numerador seja não positivo: 2 - an^2 <= 0, o que implica an^2 >= 2. Vamos verificar se an^2 >= 2 para n >= 2. Para n=1, a1 = 1, a1^2 = 1, que não é >= 2. Portanto, a sequência não é decrescente a partir do primeiro termo. Para n=2, a2 = (a1 + 2/a1) / 2 = (1 + 2/1) / 2 = 3/2. a2^2 = (3/2)^2 = 9/4 = 2,25, que é >= 2. Agora, vamos provar por indução que an^2 >= 2 para n >= 2. Caso base: Mostramos que a2^2 = 9/4 >= 2. Passo indutivo: Suponha que ak^2 >= 2 para algum inteiro k >= 2. Precisamos mostrar que ak+1^2 >= 2. ak+1 = (ak + 2/ak) / 2. ak+1^2 = ((ak + 2/ak) / 2)^2 = (ak^2 + 4 + 4/ak^2) / 4. Como ak^2 >= 2, então 1/ak^2 <= 1/2. Assim, ak+1^2 = (ak^2 + 4 + 4/ak^2) / 4 >= (2 + 4 + 4(0)) / 4 = 6/4 = 1,5. Isso não é suficiente. Vamos usar uma abordagem diferente para o passo indutivo para an^2 >= 2 para n >= 2. Sabemos que ak+1 = (ak + 2/ak) / 2. Considere ak+1^2 - 2 = ((ak + 2/ak) / 2)^2 - 2 = (ak^2 + 4 + 4/ak^2) / 4 - 2 = (ak^2 + 4 + 4/ak^2 - 8) / 4 = (ak^2 - 4 + 4/ak^2) / 4 = (ak - 2/ak)^2 / 4. Como (ak - 2/ak)^2 é um quadrado, é sempre não negativo. Assim, ak+1^2 - 2 >= 0, o que significa ak+1^2 >= 2. Portanto, para n >= 2, an^2 >= 2, o que implica que an+1 - an <= 0. A sequência é decrescente após o primeiro termo. 3. Prova de que a sequência é limitada inferiormente: Da parte 1, provamos que todo termo da sequência é positivo. Assim, a sequência é limitada inferiormente por 0. Além disso, da parte 2, mostramos que para n >= 2, an^2 >= 2, o que implica an >= sqrt(2) para n >= 2. Portanto, a sequência é limitada inferiormente por sqrt(2) para n >= 2. 4. Dedução de que a sequência converge: Da parte 2, mostramos que a sequência é decrescente para n >= 2. Da parte 3, mostramos que a sequência é limitada inferiormente (por sqrt(2) para n >= 2). De acordo com o Teorema da Convergência Monótona, uma sequência que é tanto monótona (decrescente neste caso) quanto limitada inferiormente converge para um limite finito. 5. Encontrando o limite e justificativa: Seja L o limite da sequência. Como a sequência converge, podemos tirar o limite de ambos os lados da relação de recorrência: lim (an+1) = lim ((an + 2/an) / 2) À medida que n se aproxima do infinito, an+1 se aproxima de L e an se aproxima de L. Assim, L = (L + 2/L) / 2. Agora, resolvemos para L: 2L = L + 2/L L = 2/L L^2 = 2 L = ±sqrt(2). Como provamos que todos os termos da sequência são positivos (parte 1), o limite também deve ser positivo. Portanto, L = sqrt(2). Justificativa: O limite é sqrt(2) porque a sequência é provada como decrescente e limitada inferiormente por sqrt(2) para n >= 2, e o limite da relação de recorrência deve satisfazer L = (L + 2/L) / 2, o que resulta em L = sqrt(2) como a única solução positiva.

Analisamos a sequência definida por a₁ = 1 e aₙ₊₁ = (aₙ + 2/aₙ)/2 para todo n ≥ 1. --- Parte 1: Todo termo é positivo. Procedemos por indução. O caso base é claro: a₁ = 1 > 0. Agora suponha que aₙ > 0 para algum n ≥ 1. Então 2/aₙ > 0, logo aₙ + 2/aₙ > 0, e portanto aₙ₊₁ = (aₙ + 2/aₙ)/2 > 0. Por indução, aₙ > 0 para todo n ≥ 1. --- Parte 2: A sequência é decrescente após o primeiro termo (ou seja, aₙ₊₁ ≤ aₙ para todo n ≥ 2, e mais precisamente aₙ₊₁ ≤ aₙ para todo n ≥ 1 com igualdade apenas se aₙ = √2). Calculamos aₙ - aₙ₊₁: aₙ - aₙ₊₁ = aₙ - (aₙ + 2/aₙ)/2 = aₙ/2 - 1/aₙ = (aₙ² - 2)/(2aₙ). Como aₙ > 0, o sinal de aₙ - aₙ₊₁ é igual ao sinal de aₙ² - 2. Primeiro mostramos que aₙ² ≥ 2 para todo n ≥ 2 (para que a sequência seja não crescente a partir de n = 2, e estritamente decrescente a menos que aₙ = √2). Pela desigualdade AM-GM aplicada a aₙ e 2/aₙ (ambos positivos): aₙ₊₁ = (aₙ + 2/aₙ)/2 ≥ √(aₙ · 2/aₙ) = √2. Assim, aₙ₊₁ ≥ √2 para todo n ≥ 1, o que significa que aₙ ≥ √2 para todo n ≥ 2. Portanto, para n ≥ 2, aₙ² ≥ 2, logo aₙ - aₙ₊₁ = (aₙ² - 2)/(2aₙ) ≥ 0, ou seja, aₙ₊₁ ≤ aₙ. Daí a sequência é (não estritamente) decrescente para n ≥ 2. (Na verdade, é estritamente decrescente a menos que aₙ = √2 exatamente, mas não estritamente é suficiente para nossos propósitos.) Nota: a₁ = 1 < √2, então a₂ = (1 + 2)/2 = 3/2 > a₁, o que significa que a sequência aumenta de n=1 para n=2, mas é decrescente a partir de n=2. --- Parte 3: A sequência é limitada inferiormente. Da Parte 2, estabelecemos via AM-GM que aₙ ≥ √2 para todo n ≥ 2. Combinado com a₁ = 1 > 0, todo termo satisfaz aₙ > 0. Mais útil, a subsequência (aₙ)ₙ≥₂ é limitada inferiormente por √2 > 0. Assim, a sequência (aₙ)ₙ≥₂ é limitada inferiormente por √2. --- Parte 4: A sequência converge. A subsequência (aₙ)ₙ≥₂ é monotonicamente decrescente (da Parte 2) e limitada inferiormente por √2 (da Parte 3). Pelo Teorema da Convergência Monótona (toda sequência monótona limitada de números reais converge), a sequência (aₙ)ₙ≥₂ converge. Como (aₙ)ₙ≥₁ difere de (aₙ)ₙ≥₂ apenas pelo termo único a₁, a sequência completa (aₙ) também converge para o mesmo limite. --- Parte 5: Encontrando o limite. Seja L = lim_{n→∞} aₙ. Como a sequência converge, podemos tirar limites em ambos os lados da recorrência: aₙ₊₁ = (aₙ + 2/aₙ)/2. Tirando o limite n → ∞ e usando a continuidade do lado direito (válido pois L > 0): L = (L + 2/L)/2. Multiplicando ambos os lados por 2L: 2L² = L² + 2 L² = 2 L = ±√2. Como aₙ ≥ √2 > 0 para todo n ≥ 2, o limite deve satisfazer L ≥ √2 > 0, então descartamos L = -√2. Portanto, lim_{n→∞} aₙ = √2. --- Resumo: A sequência é bem definida e positiva por indução. A partir de n = 2, ela é limitada inferiormente por √2 (por AM-GM) e decrescente (já que aₙ² ≥ 2 para n ≥ 2). O Teorema da Convergência Monótona garante a convergência, e a resolução da equação de ponto fixo fornece o limite √2. Esta sequência é precisamente o método de Newton aplicado a f(x) = x² - 2, convergindo para a raiz quadrada positiva de 2.