指数関数と三角関数を含む極限の評価

$\\lim_{x \to 0} \frac{e^{2x} - 1 - 2x}{x^2 \sin x}$ の極限を評価するために、関係する関数を $x=0$ の周りでテイラー級数展開します。 $u=0$ の周りでの $e^u$ のテイラー級数展開は $e^u = 1 + u + \frac{u^2}{2!} + \frac{u^3}{3!} + \dots$ です。 $u=2x$ を代入すると、$e^{2x} = 1 + (2x) + \frac{(2x)^2}{2!} + \frac{(2x)^3}{3!} + \dots = 1 + 2x + \frac{4x^2}{2} + \frac{8x^3}{6} + \dots = 1 + 2x + 2x^2 + \frac{4}{3}x^3 + \dots$ となります。 したがって、分子 $e^{2x} - 1 - 2x$ は次のようになります。 $(1 + 2x + 2x^2 + \frac{4}{3}x^3 + \dots) - 1 - 2x = 2x^2 + \frac{4}{3}x^3 + \dots$。 $x=0$ の周りでの $\sin x$ のテイラー級数展開は $\sin x = x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \dots = x - \frac{x^3}{6} + \dots$ です。 したがって、分母 $x^2 \sin x$ は次のようになります。 $x^2 (x - \frac{x^3}{6} + \dots) = x^3 - \frac{x^5}{6} + \dots$。 ここで、これらの展開を使用して極限式を書き換えることができます。 $$ \lim_{x \to 0} \frac{2x^2 + \frac{4}{3}x^3 + \dots}{x^3 - \frac{x^5}{6} + \dots} $$ この極限を評価するために、分子と分母の両方を分母に含まれる $x$ の最小べき乗で割ることができますが、分子と分母の両方から $x$ の最小べき乗を因数分解する方が直接的です。 $$ \lim_{x \to 0} \frac{x^2(2 + \frac{4}{3}x + \dots)}{x^3(1 - \frac{x^2}{6} + \dots)} $$ これは次のように単純化されます。 $$ \lim_{x \to 0} \frac{2 + \frac{4}{3}x + \dots}{x(1 - \frac{x^2}{6} + \dots)} $$ $x$ が 0 に近づくと、分子は $2 + 0 + \dots = 2$ に近づきます。 $x$ が 0 に近づくと、分母は $0 imes (1 - 0 + \dots) = 0$ に近づきます。 分子がゼロでない定数 (2) に近づき、分母が 0 に近づくため、極限は $\infty$ または $-\infty$ のいずれかになります。符号を決定するために、$x$ が右側から 0 に近づく場合 ($x \to 0^+$) と左側から 0 に近づく場合 ($x \to 0^-$) の分母の挙動を調べます。 $x \to 0^+$ のとき、分母 $x(1 - \frac{x^2}{6} + \dots)$ は $0^+ imes 1 = 0^+$ に近づきます。したがって、極限は $\frac{2}{0^+} = \infty$ です。 $x \to 0^-$ のとき、分母 $x(1 - \frac{x^2}{6} + \dots)$ は $0^- imes 1 = 0^-$ に近づきます。したがって、極限は $\frac{2}{0^-} = -\infty$ です。 左側極限と右側極限が等しくないため、全体の極限は存在しません。ただし、質問が絶対値の極限を意味する場合、または分母が $x^2 \sin x$ ではなく $x^3$ であった場合、結果は異なります。問題文を再確認し、手順が省略されていないことを確認しましょう。 最初の形式が $\frac{0}{0}$ であるため、ロピタルの定理を使用して別の検証を行いましょう。 最初の導関数： 分子：$\frac{d}{dx}(e^{2x} - 1 - 2x) = 2e^{2x} - 2$ 分母：$\frac{d}{dx}(x^2 \sin x) = 2x \sin x + x^2 \cos x$ 極限は $\lim_{x \to 0} \frac{2e^{2x} - 2}{2x \sin x + x^2 \cos x}$ となります。これは依然として $\frac{0}{0}$ の形式です。 2番目の導関数： 分子：$\frac{d}{dx}(2e^{2x} - 2) = 4e^{2x}$ 分母：$\frac{d}{dx}(2x \sin x + x^2 \cos x) = (2 \sin x + 2x \cos x) + (2x \cos x - x^2 \sin x) = 2 \sin x + 4x \cos x - x^2 \sin x$ 極限は $\lim_{x \to 0} \frac{4e^{2x}}{2 \sin x + 4x \cos x - x^2 \sin x}$ となります。 $x \to 0$ のとき、分子は $4e^0 = 4$ に近づきます。 分母は $2 \sin 0 + 4(0)\cos 0 - 0^2 \sin 0 = 0 + 0 - 0 = 0$ に近づきます。 再び、ゼロでない分子とゼロの分母が得られました。分母の符号を分析しましょう。 $x$ が小さい場合、$\sin x \approx x$ および $\cos x \approx 1$ です。したがって、分母は約 $2x + 4x(1) - x^2(x) = 2x + 4x - x^3 = 6x - x^3 = x(6 - x^2)$ です。 したがって、極限は $\lim_{x \to 0} \frac{4}{x(6 - x^2)}$ です。 $x \to 0^+$ のとき、分母は $0^+(6-0) = 0^+$ です。極限は $\frac{4}{0^+} = \infty$ です。 $x \to 0^-$ のとき、分母は $0^-(6-0) = 0^-$ です。極限は $\frac{4}{0^-} = -\infty$ です。 したがって、極限は存在しません。 分母のテイラー級数展開をより注意深く再評価しましょう。 $\sin x = x - \frac{x^3}{6} + O(x^5)$ $x^2 \sin x = x^2 (x - \frac{x^3}{6} + O(x^5)) = x^3 - \frac{x^5}{6} + O(x^7)$ 分子：$e^{2x} - 1 - 2x = (1 + 2x + \frac{(2x)^2}{2} + \frac{(2x)^3}{6} + O(x^4)) - 1 - 2x = (1 + 2x + 2x^2 + \frac{8x^3}{6} + O(x^4)) - 1 - 2x = 2x^2 + \frac{4}{3}x^3 + O(x^4)$。 したがって、極限は $\lim_{x \to 0} \frac{2x^2 + \frac{4}{3}x^3 + O(x^4)}{x^3 - \frac{x^5}{6} + O(x^7)}$ です。 分子と分母を $x^2$ で割ると、$\lim_{x \to 0} \frac{2 + \frac{4}{3}x + O(x^2)}{x - \frac{x^3}{6} + O(x^5)}$ となります。 $x \to 0$ のとき、分子は $2$ に近づきます。 分母は $0$ に近づきます。 分母 $x - \frac{x^3}{6} + O(x^5)$ の符号を考えましょう。$x$ が小さい場合、これは $x$ 項で支配されます。したがって、$x \to 0^+$ のとき分母は正であり、$x \to 0^-$ のとき分母は負です。 したがって、$\lim_{x \to 0^+} \frac{2 + \frac{4}{3}x + O(x^2)}{x - \frac{x^3}{6} + O(x^5)} = \frac{2}{0^+} = \infty$。 および$\lim_{x \to 0^-} \frac{2 + \frac{4}{3}x + O(x^2)}{x - \frac{x^3}{6} + O(x^5)} = \frac{2}{0^-} = -\infty$。 左側極限と右側極限が等しくないため、極限は存在しません。 最終的な答え：極限は存在しません。

To evaluate lim(x→0) [(e^(2x) - 1 - 2x) / (x^2 sin x)]、テイラー展開を使用します。 ステップ1：e^(2x)をテイラー級数で展開します。 u=0周りのe^uのテイラー級数は、e^u = 1 + u + u^2/2! + u^3/3! + ... です。 u = 2xを代入すると： e^(2x) = 1 + 2x + (2x)^2/2! + (2x)^3/3! + (2x)^4/4! + ... e^(2x) = 1 + 2x + 4x^2/2 + 8x^3/6 + 16x^4/24 + ... e^(2x) = 1 + 2x + 2x^2 + 4x^3/3 + 2x^4/3 + ... ステップ2：分子 e^(2x) - 1 - 2x を計算します。 e^(2x) - 1 - 2x = (1 + 2x + 2x^2 + 4x^3/3 + ...) - 1 - 2x e^(2x) - 1 - 2x = 2x^2 + 4x^3/3 + O(x^4) ステップ3：sin x をそのテイラー級数で展開します。 sin x = x - x^3/3! + x^5/5! - ... sin x = x - x^3/6 + x^5/120 - ... ステップ4：x^2 sin x を計算します。 x^2 sin x = x^2(x - x^3/6 + x^5/120 - ...) x^2 sin x = x^3 - x^5/6 + x^7/120 - ... ステップ5：比を形成して単純化します。 [(e^(2x) - 1 - 2x) / (x^2 sin x)] = [2x^2 + 4x^3/3 + O(x^4)] / [x^3 - x^5/6 + ...] 分子からx^2を、分母からx^3を因数分解します： = [x^2(2 + 4x/3 + O(x^2))] / [x^3(1 - x^2/6 + ...)] = [2 + 4x/3 + O(x^2)] / [x(1 - x^2/6 + ...)] ステップ6：極限を分析します。 x → 0 のとき、分子は2に近づきますが、分母は1に近づく因子にxを掛けたものです。これは、分母が0に近づき、分子が2に近づくことを意味します。 もう一度考え直します：項の順序にもっと注意する必要があります。 実際、ステップ2から：e^(2x) - 1 - 2x = 2x^2 + 4x^3/3 + O(x^4) ステップ4から：x^2 sin x = x^3 - x^5/6 + O(x^7) したがって、比は次のようになります： [2x^2 + 4x^3/3 + O(x^4)] / [x^3 - x^5/6 + O(x^7)] = [x^2(2 + 4x/3 + O(x^2))] / [x^3(1 - x^2/6 + O(x^4))] = (1/x) · [2 + 4x/3 + O(x^2)] / [1 - x^2/6 + O(x^4)] これは極限が発散することを示唆しています。分子の展開をもう一度確認します。 e^(2x) = 1 + 2x + 2x^2 + (4/3)x^3 + (2/3)x^4 + ... e^(2x) - 1 - 2x = 2x^2 + (4/3)x^3 + (2/3)x^4 + ... これは正しいです。分子はx^2で始まり、分母のx^2 sin xはx^3で始まるため、極限は確かに無限大です。 待ってください—x^2 sin x をもっと注意深く再計算します。 x^2 sin x = x^2 · (x - x^3/6 + ...) = x^3 - x^5/6 + ... したがって、次のようになります。 [2x^2 + (4/3)x^3 + ...] / [x^3 - x^5/6 + ...] 分子と分母をx^3で割ると： [2/x + 4/3 + ...] / [1 - x^2/6 + ...] x → 0+ のとき、これは+∞に発散し、x → 0- のとき、これは-∞に発散します。 しかし、問題が有限の答えを意図している場合、エラーがないか確認します。考えてみると、極限は有限の意味では存在せず、発散します。