量子もつれとベルの定理の解説

量子もつれは、量子力学の最も独特で概念的に困難な特徴の1つです。これは、2つ以上の量子系が、たとえシステムが大きな距離で分離されていても、各サブシステムの状態を他のシステムから独立して完全に指定できないような結合状態に準備される状況を記述します。古典物理学では、システム全体についてすべてを知っていれば、原則として各部分に明確な特性を割り当てることができます。もつれはこの分離可能性に違反します。複合システムは完全に明確な量子状態を持つことができますが、個々に取られたその構成要素はそうではありません。数学的には、もつれた状態は、サブシステムの状態の単純な積として書き込めない複合ヒルベルト空間の状態です。2つの粒子AとBについて、結合状態が粒子Aの状態に粒子Bの状態を掛けたものとして書ける場合、それはもつれていません。書けない場合は、もつれています。 標準的な例は、シングレット状態に準備された1組のスピン1/2粒子です。この状態は全スピンゼロであり、任意の共通軸に沿ったスピン測定の完全な反相関を意味します。1つの粒子が測定され、ある方向のスピンアップが見つかった場合、もう1つはその同じ方向のスピンダウンが見つかります。しかし、測定前は、量子力学は各粒子がすべての可能な軸に沿ってすでに明確なスピン値を持っているとは記述しません。代わりに、結合システムのみが明確な構造を持っています。これが重要な点です。もつれは単なる強い相関ではありません。古典システムも相関することができます。これは、別々の箱に入れられた2つの手袋のようなものです。1つの箱を開けて左手袋を見つけたら、もう一方には右手袋が入っていることを即座に知ります。しかし、その古典的なケースでは、各手袋は最初からそのアイデンティティを持っていました。量子的なケースでは、問題はより深いです。量子力学によって予測される相関は、さまざまな可能な測定設定にわたって非常に強く、非常に構造化されているため、すべての結果が局所的な隠れた特性によって事前に決定されていた理論では説明できません。 ここで、1935年に提案されたアインシュタイン・ポドルスキー・ローゼン（EPR）のパラドックスに話を移します。EPRは、量子力学の標準的な解釈に不満でした。なぜなら、それは不完全性または一種の非局所的な影響を示唆しているように見えたからです。彼らの議論は、現実性の基準から始まりました。もし、システムを乱すことなく、物理量の値を確実に予測できるなら、その量に対応する物理的実在の要素が存在するということです。彼らは相互作用し、その後分離されたが、一方の測定が他方の位置または運動量のいずれかの完全な予測を可能にするように相関したままの2つのシステムを検討しました。システムは空間的に分離されているため、EPRは、局所性が尊重される場合、一方の測定が他方を物理的に乱すことはできないと主張しました。したがって、遠隔の粒子はすでにそれらの測定可能な量の明確な値を持っているはずです。しかし、標準的な量子力学は、位置と運動量のような同時に明確な値を持たない非可換観測量を割り当てません。EPRは、量子力学は不完全でなければならないと結論付けました。現実のより完全な記述を回復する、理論から隠された追加の変数があるはずです。 彼らの議論の根底にある概念は、しばしば局所実在論と呼ばれます。実在論とは、物理的特性が測定に先行し、独立して明確な値を持つという考えです。局所性とは、相対性理論に根ざした、影響が光速を超えて伝播できないため、ここで行われた作用がそこにある遠隔システムに瞬時に影響を与えることはできないという考えです。これらを合わせて、局所実在論は、測定結果は各粒子が持つ既存の特性によって決定され、一方の粒子で行われた測定の選択は、それらが空間的に分離されている場合、もう一方の物理的状態または結果の確率を即座に変更することはできないと示唆しています。EPRは、局所実在論を満たすより完全な理論が量子力学の根底にあることを望んでいました。 数十年もの間、これは主に哲学的な議論でした。なぜなら、少なくとも一部の量子予測を再現できる隠れた変数理論を想像できたからです。決定的な転換は1964年のジョン・ベルによってもたらされました。ベルは、問題は単なる解釈の問題ではないことを証明しました。彼は、局所性とEPR型の隠れた変数を満たす任意の理論は、現在ベルの不等式と呼ばれる特定の統計的制約に従わなければならないことを示しました。量子力学は、もつれた状態に対してそれらの不等式の違反を予測します。したがって、局所隠れ変数理論と量子力学は実験的に区別可能です。 ベルの定理の論理はエレガントです。もつれたペアの各メンバーが、測定設定にどのように応答するかを決定する隠れた情報（しばしばラムダと書かれる変数）を持っていると仮定します。一方の観測者が測定設定aとaプライムの間で選択し、もう一方がbとbプライムの間で選択するとします。測定結果は通常、プラス1またはマイナス1として扱われます。局所実在論の下では、最初の側の結果は局所設定とラムダのみに依存し、2番目の側の結果は遠隔の局所設定とラムダのみに依存しますが、最初の側で行われた選択には依存しません。次に、隠れた変数分布全体での2つの結果の積の平均として相関関数を定義します。 これらの仮定から、ベルは不等式を導き出しました。最も広く使用されている形式は、クラウザー・ホーン・シモニー・ホルト（CHSH）不等式です。E(a,b)が設定aとbの相関を表す場合、任意の局所隠れ変数理論は、E(a,b) + E(a,bプライム) + E(aプライム,b) - E(aプライム,bプライム)の絶対値が2以下であるという境界を満たさなければなりません。これは量子力学の特別な特徴ではありません。それは、事前に決定された局所的な結果の代数から導かれます。その理由は、各隠れた変数割り当てについて、対応する組み合わせはプラス2またはマイナス2の値しか取れず、平均化は絶対的な境界を増加させないからです。 しかし、量子力学はより強い相関を予測します。シングレット状態の粒子では、方向aとbに沿ったスピン測定間の相関は、方向間の角度のコサインのマイナスです。適切な相対角度を持つ測定軸を選択することにより、CHSH値は2√2（2より大きい）が得られます。これはツィレルソン限界であり、この不等式に対して量子力学によって許容される最大値です。したがって、ベルの定理は、すべての関連する観測量に対して局所性と事前に決定された隠れた値の両方を維持する理論は、すべての量子予測を再現できないことを示しています。局所実在論と呼ばれるパッケージの何かが放棄されるか、少なくとも真剣に改訂されなければなりません。 ベルの定理が何を意味し、何を意味しないかを注意深く述べることは重要です。それは、量子力学が制御可能な超光速信号を可能にすることを意味するものではありません。もつれた粒子の測定結果は局所隠れ変数では説明できない方法で相関していますが、個々の局所結果は個別にランダムです。観測者はどのランダムな結果が発生するかを制御できないため、もつれを使用して瞬時にメッセージを送信することはできません。したがって、相対性理論との緊張は微妙です。ベルの違反は、自然がEPRの意味での局所実在論に準拠しないことを示していますが、それ自体では超光速通信を許可しません。 この定理はまた、哲学的な選択肢を鋭くしました。測定結果がすべての観測量に対して事前に存在する値を明らかにしないという強い意味で、実在論を拒否することができます。これは標準的なコペンハーゲン風の考え方に近いです。あるいは、実在論を維持しつつ非局所性を受け入れることもできます。これは、隠れた変数が存在するがダイナミクスが明示的に非局所的であるボーミアン力学のような場合です。または、測定結果や物理的特性と見なされるものを再定義する、多世界解釈や関係的解釈などの他のフレームワークを採用することもできます。ベルの功績は、これらが単なる言葉の好みではなく、正確な数学的結果に対する真に異なる応答を反映していることを示したことです。 次の重要なステップは実験でした。ベルの不等式をテストするには、もつれた粒子のペア、各側での独立して選択された測定設定、および相関の正確な測定が必要です。1970年代の初期の実験は示唆的な証拠を提供しましたが、画期的なシリーズは1980年代初頭にアラン・アスペと共同研究者によってもつれた光子を使用して行われました。これらの実験では、光子のペアが偏光もつれ状態で放出されました。両側の偏光アナライザーは異なる向きに設定され、検出器クリックの同時発生率が記録されました。測定された相関は、量子力学と密接に一致して、ベル型不等式に違反しました。 アスペの最も有名な実験は、光子が飛行中にアナライザーの設定を急速に切り替えることによって、以前の作業を改善しました。これは局所性の懸念に対処するために設計されました。設定が十分に速く変更され、測定イベントが空間的に分離されている場合、結果を調整するために光速信号が一方の側からもう一方の側に到達する時間はありません。観測された違反は依然として量子予測と一致していました。これらの実験は、ベルの定理を抽象的な議論から実際のデータによって満たされる経験的な課題に変えたため、歴史的に決定的でした。 しかし、実際の実験は完璧ではなく、長年、議論はループホールの周りに集中していました。検出ループホールは、放出されたすべての粒子が検出されない場合に発生します。その場合、検出されたサンプルが全アンサンブルを代表していると仮定する必要があります。局所隠れ変数モデルは、バイアスのかかった検出を利用して量子違反を模倣する可能性があります。局所性ループホールは、光速以下の信号が装置コンポーネント間を通過して結果に影響を与えるのに十分な時間がある場合に発生します。また、隠れた変数が測定選択と何らかの形で相関している可能性があることに関する、自由選択または設定独立性ループホールもあります。 1990年代以降、ますます洗練された実験がこれらのループホールを攻撃しました。もつれたイオンと原子を使用した実験は非常に高い検出効率を達成し、検出ループホールを閉じるのに役立ちましたが、多くの場合、分離は少なくなりました。光子実験は大きな分離と優れた局所性制御を達成しました。2015年に、いくつかのグループがループホール削減またはループホールフリーのベルテストを報告し、高効率検出と空間的分離、および高速ランダム設定選択を組み合わせたことで、大きなマイルストーンが達成されました。ダイヤモンド欠陥のもつれた電子スピンや高度な検出器のもつれた光子などのシステムを使用したこれらの実験は、量子力学と一致するベル不等式の統計的に有意な違反を発見しました。 これらの実験的テストの全体的な結論は明確です。世界はベルの局所実在論を満たしていません。観測された相関はベル不等式に違反し、多くのプラットフォームとますます厳格な条件下で量子力学と一致しています。これは単一の量子理論の解釈を強制するものではありませんが、局所隠れ変数説明のクラス全体を排除します。したがって、もつれは単なる波動関数の奇妙な形式的な特徴ではありません。それは実際の物理的リソースであり、現在、量子情報科学、量子暗号、量子テレポーテーション、量子コンピューティングの中心となっています。 要約すると、量子もつれは、複合量子状態の不可分な結合構造であり、独立した局所特性に還元できない相関を生み出します。EPRパラドックスは、そのような相関を使用して、量子力学が不完全である可能性があり、局所性と物理的現実の調和という課題を導入しました。ベルの定理は、すべての局所隠れ変数理論が量子力学が違反できる不等式を満たさなければならないことを証明することにより、その課題を定量的テストに変換しました。アスペによって開始され、現代のループホールフリーテストで洗練された実験は、量子予測を繰り返し確認してきました。その教訓は深遠です。自然は、局所実在論理論では説明できない相関を許容し、物理的世界の適切な理解は、その事実に折り合わなければなりません。

量子もつれ、EPRパラドックス、ベルの定理、および実験的検証：包括的なエッセイ 量子力学は、物理学史上最も成功し、直感に反する理論の一つです。その多くの奇妙な特徴の中でも、量子もつれは、おそらく最も哲学的に挑発的なものとして際立っています。それを完全に理解するためには、その定義から、それが引き起こした歴史的な議論、その議論を解決した数学的定理、そして疑問の余地なく量子力学を確認した実験へとたどる必要があります。 I. 量子もつれ：定義 量子もつれとは、2つ以上の粒子が、それらがどれほど離れていても、各粒子の量子状態を独立に記述できないような相関を持つ現象です。これは、片方の手袋が左利きだとわかれば、もう片方は右利きでなければならないというような、単なる古典的な相関ではありません。それは根本的に異なるものです。 量子力学では、系の状態はヒルベルト空間内の波動関数（または状態ベクトル）によって記述されます。スピンを持つ単一粒子の場合、状態は重ね合わせである可能性があります。つまり、測定が行われるまで、粒子は同時にスピンアップとスピンダウンの状態にあります。2つの粒子が相互作用してから分離すると、それらの結合状態は、2つの独立した単粒子状態の積に因数分解できないもつれ状態として書き表すことができます。典型的な例は、2つのスピン1/2粒子のシングレット状態です。 |Ψ⁻⟩ = (1/√2)(|↑⟩₁|↓⟩₂ − |↓⟩₁|↑⟩₂) この状態では、どちらの粒子も任意の軸に沿って明確なスピンを持っていません。しかし、粒子1が測定され、ある軸に沿ってスピンアップであることが判明した場合、粒子2は、それらの間の距離に関係なく、その同じ軸に沿って瞬時にスピンダウンであることが判明します。この瞬時の相関が、もつれの証です。粒子は非分離可能な結合状態にあると言われ、それらが示す相関は、古典物理学が生成できるものよりも強力です。 粒子が相互作用したり、保存則の下で一緒に生成されたりすると、もつれは自然に発生します。自発的パラメトリック下方変換によって生成された光子ペア、原子崩壊からの電子ペア、およびその他の多くの物理プロセスは、現代の実験室で日常的に相関状態を生成します。 II. アインシュタイン＝ポドルスキー＝ローゼン（EPR）のパラドックスと局所実在論 もつれの哲学的な意味合いは、1935年にアルバート・アインシュタイン、ボリス・ポドルスキー、ネイサン・ローゼンが、一般にEPR論文として知られる画期的な論文で、初めて鮮明に浮き彫りにしました。彼らの議論は量子力学の支持ではなく、むしろその完全性への挑戦でした。 アインシュタイン、ポドルスキー、ローゼンは、一見妥当な2つの仮定から始めました。第一は実在論：物理量は、観測されるかどうかにかかわらず存在する確定的な値を持つというものです。第二は局所性：いかなる物理的影響も光速を超えて伝わることはできず、ある場所で起こったことが遠隔地にある場所に瞬時に影響を与えることはできないというものです。これら2つの仮定を合わせると、局所実在論の原理が構成されます。 EPRの議論は次のように進みました。もつれ状態に準備され、その後、大きな距離に分離された2つの粒子を考えます。観測者（アリス）が粒子1の位置を測定します。粒子は相関しているため、粒子2を妨害することなく、その位置を確実に予測できます。局所性により、この予測は粒子2の既存の特性を反映しなければなりません。あるいは、アリスは粒子1の運動量を測定し、それによって粒子2の運動量を確実に予測できます。ここでも、局所性により、これは既存の特性を反映しなければなりません。しかし、量子力学は、ハイゼンベルクの不確定性原理を通じて、粒子が同時に確定的な位置と運動量を持つことを禁じています。したがって、EPRは、量子力学は不完全であると結論付けました。つまり、波動関数では捉えられない隠れた変数、つまり測定結果を事前に決定する追加のパラメータが存在しなければならないということです。 アインシュタインは、その代替案に対する彼の不快感を、「神はサイコロをしない」と信じることができないと述べ、量子力学が示唆する瞬時の相関を「不気味な遠隔作用」と呼んだことで有名です。EPR論文は、定式化された量子力学が非局所的である（相対性理論に違反する）か、不完全である（隠れた変数がない）かのいずれかであるという真剣な科学的議論でした。約30年間、これは明確な実験的解決策のない哲学的な議論のままでした。 III. ベルの定理とその数学的意味合い 状況は、1964年にアイルランドの物理学者ジョン・スチュワート・ベルが、EPRの議論を哲学的な問題から実験的に検証可能な問題へと変えた定理を発表したことで劇的に変化しました。ベルの定理は、物理学の基礎における最も深遠な結果の一つです。 ベルは次のように尋ねました。もしEPRが正しく、測定結果を決定する隠れた変数（総称してλで表される）が存在すると仮定します。これらの隠れた変数は、ρ(λ) ≥ 0 かつ ∫ρ(λ)dλ = 1 を満たすある確率分布ρ(λ)に従って分布します。λの特定の値に対して、方向aで粒子1を測定した結果はA(a, λ) = ±1 であり、方向bで粒子2を測定した結果はB(b, λ) = ±1 です。局所性は、Aがaとλのみに依存し、bや遠隔測定には依存せず、その逆も同様であることを要求します。 この場合の2つの測定間の相関は次のようになります。 E(a, b) = ∫ A(a, λ) B(b, λ) ρ(λ) dλ ベルは、この形式の任意の局所隠れ変数理論に対して、相関は数学的不等式を満たさなければならないことを示しました。後にジョン・クラウザー、マイケル・ホーン、アブナー・シモニ、リチャード・ホルト（CHSH）によって洗練された形式では、それは次のように述べています。 |E(a, b) − E(a, b') + E(a', b) + E(a', b')| ≤ 2 ここで、a、a'はアリスの2つの測定設定であり、b、b'はボブの2つの設定です。これはCHSH形式のベルの不等式です。上限の2は、局所実在論の厳密な数学的帰結です。隠れた変数が何であれ、またはそれらがどのように分布していても、世界が局所的に実在的であるならば、この不等式は破られることはありません。 しかし、量子力学は、シングレット状態と最適に選択された測定方向（45度で分離）の場合、左辺が2√2 ≈ 2.828 になり、明らかに2を超えることを予測しています。これはチレルソン境界であり、CHSH不等式の最大量子違反です。 ベルの定理の重要性はどれだけ強調してもしすぎることはありません。それは、局所実在論が量子力学の文脈で単に哲学的に魅力的でないだけでなく、量子力学の予測と数学的に両立しないことを証明しました。量子力学が正しいならば、いかなる局所隠れ変数理論もそのすべての予測を再現することはできません。世界は、EPRの意味で、局所的かつ実在的であることはできません。したがって、ベルの定理は形而上学的な議論を正確な経験的な問題へと転換しました。自然界で観測される相関はベルの不等式を満たすのか、それともそれを破るのか？ IV. ベルの不等式の実験的検証 ベルの不等式を検証するための実験プログラムは、1970年代初頭に本格的に始まりました。最初の重要な実験は、1972年にスチュアート・フリードマンとジョン・クラウザーによって、カルシウムの原子カスケードで生成された光子のペアを使用して行われました。彼らの結果は、量子力学の予測と一致するベルの不等式の違反を示しましたが、さまざまな抜け穴が開いたままでした。 最も有名で決定的な初期の実験は、1981年から1982年にかけて行われた一連の実験で、フランスのオルセーにある光学研究所のアラン・アスペと彼の共同研究者によるものでした。アスペの実験では、カルシウム原子の放射カスケードによって生成されたもつれた光子ペアが使用されました。彼の最も重要な1982年の実験では、アスペは重要な革新を導入しました。彼は音響光学スイッチを使用して、光子が飛行中に測定設定をランダムに変更し、一方の光子の測定方向の選択が、光速以下の速度で伝わるいかなる信号によってももう一方の光子の測定装置に伝えられていないことを保証しました。これは、以前の実験を悩ませていた、いわゆる局所性の抜け穴に対処しました。 アスペの結果は、5標準偏差以上でベルの不等式の明確な違反を示し、量子力学の予測と非常によく一致していました。これは画期的な結果でした。それは、自然界で観測される相関が真に非古典的であり、いかなる局所隠れ変数理論もそれを説明できないことを示しました。 アスペの結果の強さにもかかわらず、物理学者はいくつかの残りの抜け穴を特定しました。検出の抜け穴は、初期の実験では生成された光子のほんの一部しか検出されなかったために生じました。検出された光子がすべての光子の公平なサンプルでなかった場合、結果は原理的には局所隠れ変数理論で説明できる可能性があります。局所性の抜け穴は、アスペによって対処されましたが、すべての実験で完全に閉じられたわけではありませんでした。その後の数十年で、実験者はこれらの抜け穴を閉じるために体系的に取り組みました。 2015年には、最も重要な抜け穴を同時に閉じた3つの画期的な実験により、大きな節目が達成されました。デルフト大学のヘンセンらの実験では、1.3キロメートル離れたダイヤモンドの窒素空孔中心のもつれた電子スピンを使用し、初めて単一の実験で局所性と検出の両方の抜け穴を閉じました。同時に、ウィーンのジュスティーナらのグループとボルダーのNISTのシャルムらのグループによる実験は、高効率で光子を用いた検出の抜け穴を閉じました。これら3つの実験すべてでベルの不等式の明確な違反が確認され、量子力学を確認し、重要な抜け穴なしに局所隠れ変数理論を排除しました。 2022年、アラン・アスペ、ジョン・クラウザー、アントン・ツァイリンガーは、もつれた光子に関する実験的研究、ベルの不等式の違反の確立、および量子情報科学分野の開拓により、ノーベル物理学賞を受賞しました。 結論 量子もつれの物語は、その理論的定義からEPRパラドックス、ベルの定理、そして実験的検証に至るまで、現代物理学における偉大な知的探求の一つです。もつれは奇妙なものや不完全な理論の産物ではなく、自然の基本的な特徴です。ベルの定理は、局所実在論が量子力学と両立しないことを証明し、数十年にわたるますます厳密な実験は、自然が量子力学が予測するようにベルの不等式を正確に破ることを確認しました。 その意味合いは深遠です。世界は古典的な意味での局所的実在論ではありません。遠く離れたもつれた粒子は、既存の局所的な特性では説明できない相関を示します。しかし、これは光速を超えた通信を可能にするものではありません。なぜなら、個々の測定結果はランダムだからです。結果が古典的なチャネルを通じて比較された場合にのみ、相関が明らかになります。量子力学はその相関において非局所的ですが、相対論的因果律を破るものではありません。 今日、量子もつれは単なる哲学的なパズルではなく、実用的なリソースです。それは量子暗号、量子テレポーテーション、量子コンピューティングの基盤となっています。ここでたどったように、それを深く理解することは、現代物理学の真剣な学生にとって不可欠です。