Physikaufgabe: Die Zeitverzerrung der Standuhr

Ein Pendeluhren-Standuhr hält die Zeit durch das gleichmäßige Schwingen ihres Pendels. Da der Messingstab, aus dem das Pendel besteht, sich bei Erwärmung ausdehnt, ändert sich im Sommer bei einer Hitzewelle seine Länge, seine Periode und damit die Genauigkeit der Uhr.
Nachstehend die vollständige Lösung.

TEIL 1: NEUE LÄNGE DES MESSINGPENDELS

Die Längenänderung aufgrund thermischer Ausdehnung ist gegeben durch:
ΔL = α · L₀ · ΔT

wobei:
α = 19,0 × 10⁻⁶ (°C)⁻¹ (Koeffizient der linearen Ausdehnung für Messing)
L₀ = 1,000 m (ursprüngliche Länge bei 20,0 °C)
ΔT = 35,0 °C − 20,0 °C = 15,0 °C

ΔL = (19,0 × 10⁻⁶) × (1,000) × (15,0)
ΔL = 285 × 10⁻⁶ m = 2,85 × 10⁻⁴ m

Neue Länge:
L = L₀ + ΔL = 1,000 m + 0,000285 m = 1,000285 m

Das Pendel verlängert sich auf etwa 1,000285 Meter.

TEIL 2: NEUE PERIODE DES PENDELS BEI 35,0 °C

Die Periode eines einfachen Pendels ist:
T = 2π√(L/g)

Zuerst die ursprüngliche Periode bei 20,0 °C (L₀ = 1,000 m) ermitteln:
T₀ = 2π√(1,000 / 9,81)
T₀ = 2π√(0,101937)
T₀ = 2π × 0,319276
T₀ = 2,006066 s ≈ 2,00607 s

Nun die neue Periode bei 35,0 °C (L = 1,000285 m):
T = 2π√(1,000285 / 9,81)
T = 2π√(0,101966)
T = 2π × 0,319321
T = 2,006352 s ≈ 2,00635 s

Die neue Periode beträgt etwa 2,00635 Sekunden, etwas länger als die ursprünglichen 2,00607 Sekunden. Die Zunahme beträgt etwa 0,000286 Sekunden pro Schwingung.

Eine nützliche Abkürzung: Bei kleinen Änderungen ist die relative Änderung der Periode halb so groß wie die relative Änderung der Länge:
ΔT_periode / T₀ ≈ (1/2)(ΔL / L₀) = (1/2)(2,85 × 10⁻⁴) = 1,425 × 10⁻⁴

TEIL 3: GEWONNENE ODER VERLORENE ZEIT IN 24 STUNDEN

Da das Pendel nun länger ist, dauert jede Schwingung länger. Ein langsameres Pendel bedeutet, dass die Uhr zu langsam geht, also VERLIERT die Uhr Zeit.

Methode mit relativer Änderung:
Die relative Verlangsamung der Uhr entspricht der relativen Zunahme der Periode:
ΔT_periode / T₀ ≈ 1,425 × 10⁻⁴

Zeitverlust an einem Tag:
Δt = (1,425 × 10⁻⁴) × 86.400 s
Δt = 12,3 s

Die Uhr verliert also etwa 12,3 Sekunden pro 24 Stunden.

Überprüfung durch Zählen der Schwingungen:
Anzahl der tatsächlichen Perioden, die an einem Tag auftreten sollten (basierend auf kalibrierter T₀):
N = 86.400 / T₀ = 86.400 / 2,006066 = 43.069,4 Schwingungen

Zeit, die die Uhr nach diesen Schwingungen tatsächlich anzeigt (unter Verwendung der neuen Periode T):
Jede Schwingung dauert nun 2,006352 s, aber die Uhr "glaubt", jede Schwingung dauere T₀ = 2,006066 s.
Nach dem tatsächlichen Tag von 86.400 s ist die Anzahl der tatsächlichen Schwingungen:
N_tatsächlich = 86.400 / 2,006352 = 43.063,3 Schwingungen
Die Uhr zählt diese als N_tatsächlich × T₀ = 43.063,3 × 2,006066 = 86.387,7 s
Zeitverlust = 86.400 − 86.387,7 ≈ 12,3 s

Beide Methoden stimmen überein: Die Uhr VERLIERT etwa 12,3 Sekunden pro Tag.

TEIL 4: SCHRITTWEISE ERKLÄRUNG DER PHYSIKALISCHEN PRINZIPIEN

Schritt 1 — Thermische Ausdehnung von Festkörpern.
Wenn ein Festkörper erwärmt wird, vergrößert sich der mittlere Abstand zwischen seinen Atomen, da die Atome mit größerer Amplitude in ihren leicht asymmetrischen Potentialmulden schwingen. Bei einem langen, dünnen Stab äußert sich dies hauptsächlich in einer Längenzunahme, die durch die lineare Ausdehnung beschrieben wird: ΔL = αL₀ΔT. Messing hat einen α-Wert von 19,0 × 10⁻⁶ pro °C, sodass sich der Stab bei jeder Grad Erwärmung um etwa 19 Millionstel seiner Länge verlängert.

Schritt 2 — Die Hitzewelle verlängert das Pendel.
Eine Erhöhung der Temperatur von 20,0 °C auf 35,0 °C (ein Anstieg um 15,0 °C) verlängert den 1,000 m langen Stab um 0,285 mm auf 1,000285 m. Obwohl dies eine winzige Änderung ist, sammelt sich der Effekt bei einer kontinuierlich laufenden Uhr über Tausende von Schwingungen an.

Schritt 3 — Die Länge bestimmt die Periode.
Die Periode eines einfachen Pendels, T = 2π√(L/g), hängt von der Quadratwurzel der Länge ab. Ein längeres Pendel hat eine längere Periode – es schwingt langsamer. Wichtig ist, dass die Periode NICHT von der Masse oder (bei kleinen Winkeln) der Amplitude abhängt; nur L und g sind relevant. Da g in einem Raum praktisch konstant ist, beeinflusst nur die Längenänderung die Zeitmessung.

Schritt 4 — Warum die Uhr Zeit verliert.
Eine Standuhr stellt ihre Zeiger für jede vollständige Schwingung um einen festen Betrag vor, wobei angenommen wird, dass jede Schwingung genau die kalibrierte Periode (hier 2,00607 s) hat. Wenn sich das Pendel verlängert, dauert jede tatsächliche Schwingung etwas länger (2,00635 s), sodass in einem tatsächlichen Tag weniger Schwingungen auftreten, als die Uhr erwartet. Da die Uhr jede langsame Schwingung so zählt, als wäre sie eine normale, unterschätzt sie die vergangene Zeit und geht daher langsam – sie verliert Zeit.

Schritt 5 — Quantifizierung des Fehlers.
Unter Verwendung der Differentialbeziehung ΔT/T = ½(ΔL/L) ist der relative Zeitfehler halb so groß wie die relative Längenzunahme. Multipliziert man diesen Bruchteil (1,425 × 10⁻⁴) mit den 86.400 Sekunden eines Tages, ergibt sich ein Verlust von etwa 12,3 Sekunden pro Tag.

Schlussfolgerung:
Während der Hitzewelle dehnt sich das Messingpendel auf 1,000285 m aus, seine Periode steigt auf etwa 2,00635 s, und die Standuhr verliert etwa 12,3 Sekunden pro 24 Stunden. Genau aus diesem Grund verwenden hochwertige Pendeluhren temperaturkompensierende Konstruktionen (wie Quecksilberbehälter- oder Gitterpendel aus Metallen mit entgegengesetzten Ausdehnungskoeffizienten), um die effektive Pendellänge – und damit die Periode – trotz Temperaturschwankungen konstant zu halten.

1. Neue Pendellänge bei 35,0 °C:

Die Temperaturerhöhung beträgt:

ΔT = 35,0 °C − 20,0 °C = 15,0 °C

Für lineare thermische Ausdehnung gilt:

L = L₀(1 + αΔT)

Mit L₀ = 1,000 m und α = 19,0 × 10⁻⁶ °C⁻¹:

L = 1,000(1 + (19,0 × 10⁻⁶)(15,0))

L = 1,000(1 + 0,000285)

L = 1,000285 m

Die neue Länge des Messingpendels beträgt also 1,000285 m.

2. Neue Periode bei 35,0 °C:

Die Periode eines einfachen Pendels ist:

T = 2π√(L/g)

Mit L = 1,000285 m und g = 9,81 m/s²:

T = 2π√(1,000285/9,81)

T ≈ 2,00635 s

Zum Vergleich: Die ursprüngliche Periode bei 20,0 °C betrug:

T₀ = 2π√(1,000/9,81) ≈ 2,00607 s

Die neue Periode beträgt also etwa 2,00635 s, etwas länger als zuvor.

3. Zeitgewinn oder -verlust in 24 Stunden:

Da das Pendel länger wird, erhöht sich seine Periode. Das bedeutet, dass jeder Schwung etwas mehr Zeit benötigt, sodass die Uhr langsamer läuft.

Das Verhältnis der alten Periode zur neuen Periode ist:

T₀/T = √(L₀/L) = √(1,000/1,000285)

T₀/T ≈ 0,9998575

In 86.400 Sekunden Echtzeit wird die Uhr anzeigen:

86.400 × 0,9998575 ≈ 86.387,7 s

Daher verliert die Uhr:

86.400 − 86.387,7 ≈ 12,3 s

Die Uhr verliert also etwa 12,3 Sekunden in einem 24-Stunden-Zeitraum.

4. Physikalische Erklärung:

Ein Messingpendel dehnt sich aus, wenn seine Temperatur steigt. Da Messing einen positiven linearen Wärmeausdehnungskoeffizienten hat, führt die Erwärmung von 20,0 °C auf 35,0 °C dazu, dass das Pendel geringfügig länger wird.

Die Periode eines einfachen Pendels hängt von der Quadratwurzel seiner Länge ab:

T = 2π√(L/g)

Das bedeutet, dass ein längeres Pendel eine längere Periode hat. Die Abhängigkeit ist nicht direkt proportional, aber selbst eine geringe Längenzunahme führt zu einer geringen Zunahme der Zeit für jeden Schwung.

Eine Standuhr zählt die Pendelschwingungen, um die Zeit anzuzeigen. Sie wurde bei 20,0 °C kalibriert, als die Pendellänge genau 1,000 m betrug. Bei 35,0 °C dehnt sich der Messingstab auf 1,000285 m aus. Dies führt dazu, dass sich die Periode von etwa 2,00607 s auf etwa 2,00635 s erhöht.

Da jeder Schwung nun etwas länger dauert, treten in einer gegebenen Echtzeit weniger Schwingungen auf. Infolgedessen läuft die Uhr langsam.
Über einen vollen Tag hinweg summiert sich die geringe Verzögerung pro Schwung, wodurch die Uhr etwa 12,3 Sekunden verliert.